Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma matriz de ordem 3 que é similar a uma matriz diagonal através de uma matriz invertível . A questão quer saber qual é a forma da terceira coluna da matriz . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes similares e autovalores/autovetores. Precisamos entender como encontrar os autovalores e os autovetores de para determinar a coluna de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que . Isso implica que é uma matriz diagonal cujos elementos na diagonal são os autovalores de , e as colunas de são os autovetores correspondentes a esses autovalores.
Passo 3
Então, para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 4
Vamos calcular o determinante:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. É um pouco longo, mas após os cálculos, encontramos os autovalores .
Passo 5
Após calcular, os autovalores de são , e , onde .
Passo 6
Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos focar no autovalor , que é o maior, e encontrar o autovetor correspondente. Esse autovetor será a terceira coluna da matriz .
Passo 7
Resolvendo para encontrar o autovetor , obtemos um sistema de equações que, ao resolver, nos dá que o autovetor correspondente a é múltiplo de: