Sabemos que existe P inversível tal que:
[rrr 2 & 4 & 4 -4 & -6 & -4 6 & 8 & 4 ]=P[rrr -2 & 0 & 0 0 & a & 0 0 & 0 & b ] P^-1 com a
A 3a coluna da matriz P é múltipla de:
(A) [r-1 * -1]
(B) [r-1 * 1]
© [r-1 * 0]
(D) [r-1 * -2]
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma matriz de ordem 3 que é similar a uma matriz diagonal através de uma matriz invertível . A questão quer saber qual é a forma da terceira coluna da matriz . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes similares e autovalores/autovetores. Precisamos entender como encontrar os autovalores e os autovetores de para determinar a coluna de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que . Isso implica que é uma matriz diagonal cujos elementos na diagonal são os autovalores de , e as colunas de são os autovetores correspondentes a esses autovalores.

Passo 3

Então, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 4

Vamos calcular o determinante:
A - lambda I = 2 - lambda & 4 & 4 -4 & -6 - lambda & -4 6 & 8 & 4 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. É um pouco longo, mas após os cálculos, encontramos os autovalores .

Passo 5

Após calcular, os autovalores de são , e , onde .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos focar no autovalor , que é o maior, e encontrar o autovetor correspondente. Esse autovetor será a terceira coluna da matriz .

Passo 7

Resolvendo -1 * -1 para encontrar o autovetor , obtemos um sistema de equações que, ao resolver, nos dá que o autovetor correspondente a é múltiplo de:

Resposta

A 3ª coluna da matriz -1 * -1 é múltipla de:
Alternativa (A)

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