Seja T: R^3 R^3 a transformação
T(x, y, z)=(7 x+5 y-4 z, y3-6 z, z)
e seja Q subset R^3 um paralelepípedo com volume 2 . O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) é menor do que o volume de Q.
(B) é maior do que o volume de Q.
© pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(D) é igual ao volume de Q.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida por . A gente quer descobrir como essa transformação afeta o volume de um paralelepípedo que originalmente tem volume 2. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e como eles relacionam transformações lineares com escalas de volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos representar a transformação A = 7 & 5 & -4 0 & 13 & -6 0 & 0 & 1 como uma matriz. Cada transformação linear em pode ser escrita como uma matriz 3x3. No nosso caso, a matriz que representa é:

Passo 3

Agora, o determinante dessa matriz nos diz como o volume é escalado pela transformação . Se o determinante for maior que 1, o volume aumenta; se for menor que 1, o volume diminui; e se for igual a 1, o volume permanece o mesmo.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 7 times 13 times 1 = 73 . Como a matriz é triangular (os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:

Passo 5

O determinante é maior que 1, o que significa que o volume do paralelepípedo será multiplicado por .

Passo 6

Então, multiplicamos o volume original de Volume de T(Q) = 2 times 73 = 143 pelo determinante para encontrar o novo volume:

Resposta

A opção correta é (B) é maior do que o volume de .

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