Seja a transformação
e seja um paralelepípedo com volume 2 . O volume do paralelepípedo transformado :
(A) é menor do que o volume de .
(B) é maior do que o volume de .
© pode ser maior ou menor do que o volume de .
(D) é igual ao volume de .
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida por . A gente quer descobrir como essa transformação afeta o volume de um paralelepípedo que originalmente tem volume 2. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e como eles relacionam transformações lineares com escalas de volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos representar a transformação como uma matriz. Cada transformação linear em pode ser escrita como uma matriz 3x3. No nosso caso, a matriz que representa é:

Passo 3

Agora, o determinante dessa matriz nos diz como o volume é escalado pela transformação . Se o determinante for maior que 1, o volume aumenta; se for menor que 1, o volume diminui; e se for igual a 1, o volume permanece o mesmo.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz . Como a matriz é triangular (os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:

Passo 5

O determinante é maior que 1, o que significa que o volume do paralelepípedo será multiplicado por .

Passo 6

Então, multiplicamos o volume original de pelo determinante para encontrar o novo volume:

Resposta

A opção correta é (B) é maior do que o volume de .

Exercícios relacionados

Nos problemas de 10 - 17, verificar quais subconjuntos do são subespaços vetoriais relativos as operações usuais de soma e multiplicação por escalar:
17) e .
Considere as afirmativas abaixo:
- Se diagonal e com Ker , então é diagonalizável.
II - Se possui como polinômio característico e autovalor -7 com multiplicidade geométrica 19, então não é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Seja um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(b)
Seja e consideremos . Defina em a seguinte aplicação
Prove que , é.