Nos problemas de 10 - 17, verificar quais subconjuntos do
são subespaços vetoriais relativos as operações usuais de soma e multiplicação por escalar:
17)
e
.
17)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! O exercício pede para verificar se um determinado conjunto de pontos no espaço tridimensional,
, forma ou não um subespaço vetorial. O conjunto que estamos analisando é:
Vamos precisar lembrar algumas coisas sobre subespaços vetoriais, como as propriedades que eles devem obedecer, e aplicar isso para ver se nosso conjunto
se encaixa nessas regras.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de
precisa satisfazer três condições básicas:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas condições uma por uma para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
.
Vamos ver se ele pertence a
:
-
✔️ -
✔️
Então, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
A soma desses vetores é:
Para que
esteja em
, precisa valer:
Mas, como
e
, sabemos que
por conta da desigualdade triangular. No entanto, igualdade só ocorre em casos específicos, por exemplo, quando
e
têm o mesmo sinal.
Isso significa que, em geral,
, mas nem sempre é igual. Logo, a soma de dois vetores em
nem sempre está em
.
Passo 5
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
:
E multiplicá-lo por um escalar
:
Para que
esteja em
, precisa valer:
Sabemos que
, então substituindo:
Isso sempre é verdadeiro porque:
Portanto, a igualdade
só ocorre quando
. Se
, teremos:
Então, para
,
não pertence a
.
Resposta
Como o conjunto
não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalares negativos, ele não é um subespaço vetorial de
.