Nos problemas de 10 - 17, verificar quais subconjuntos do R^3 são subespaços vetoriais relativos as operações usuais de soma e multiplicação por escalar:
17) S=(x, y, z) ; x=0 e y=|z|.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! O exercício pede para verificar se um determinado conjunto de pontos no espaço tridimensional, S = (x, y, z) ; | ; x = 0 e y = |z| , forma ou não um subespaço vetorial. O conjunto que estamos analisando é:
Vamos precisar lembrar algumas coisas sobre subespaços vetoriais, como as propriedades que eles devem obedecer, e aplicar isso para ver se nosso conjunto se encaixa nessas regras.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas condições uma por uma para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se o vetor zero está em :
O vetor zero em é .
Vamos ver se ele pertence a :
  • ✔️
  • ✔️
Então, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificar se u = (0, y1, z1) com y1 = |z1| é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em v = (0, y2, z2) com y2 = |z2| :
u + v = (0 + 0, y1 + y2, z1 + z2) = (0, y1 + y2, z1 + z2)
y1 + y2 = |z1 + z2|
A soma desses vetores é:
Para que esteja em , precisa valer:
Mas, como e , sabemos que por conta da desigualdade triangular. No entanto, igualdade só ocorre em casos específicos, por exemplo, quando e têm o mesmo sinal.
Isso significa que, em geral, , mas nem sempre é igual. Logo, a soma de dois vetores em nem sempre está em .

Passo 5

3. Verificar se u = (0, y, z) com y = |z| é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em alpha u = (0, alpha y, alpha z) :
alpha y = |alpha z|
E multiplicá-lo por um escalar alpha |z| = |alpha z| :
|alpha z| = |alpha| cdot |z| = |alpha| cdot y
Para que alpha y = alpha |z| = -|alpha| |z| neq |alpha z| = |alpha| |z| esteja em , precisa valer:
Sabemos que , então substituindo:
Isso sempre é verdadeiro porque:
Portanto, a igualdade só ocorre quando . Se , teremos:
Então, para , não pertence a .

Resposta

Como o conjunto não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalares negativos, ele não é um subespaço vetorial de .

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