Considere A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores a1, a2, a3 in R^3. Seja B uma matriz cujas colunas b1, b2, b3 satisfazem: b1=7 a1+5 a2+5 a3,
b2=5 a1+5 a2+7 a3 e b3=5 a1+3 a2+3 a3
Sabendo que det(A)=-1, assinale o valor do det(B) :
(A) -12
(B) -11
© -7
(D) -8
(E) -9
(F) -6
(G) -13
(H) -10
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes, e , onde as colunas de são combinações lineares das colunas de . A questão pede para achar o determinante de , sabendo que o determinante de é . Pra resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre determinantes e relações entre matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a matriz b1 = 7 a1 + 5 a2 + 5 a3 está relacionada com b2 = 5 a1 + 5 a2 + 7 a3 . Cada coluna de b3 = 5 a1 + 3 a2 + 3 a3 é uma combinação das colunas de :
Isso pode ser representado como , onde é a matriz dos coeficientes dessas combinações.

Passo 3

Vamos montar a matriz M = 7 & 5 & 5 5 & 5 & 3 5 & 7 & 3 com esses coeficientes:
det(B) = det(A) times det(M)
Agora, sabemos que o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes:
Como , precisamos apenas calcular .

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(M) = 7(5 cdot 3 - 7 cdot 3) - 5(5 cdot 3 - 5 cdot 3) + 5(5 cdot 7 - 5 cdot 5) usando a regra de Sarrus ou a fórmula do determinante para matrizes 3x3:
det(M) = 7(15 - 21) - 5(15 - 15) + 5(35 - 25) = 7(-6) - 5(0) + 5(10) = -42 + 0 + 50 = 8
Fazendo as contas:

Passo 5

Agora, volta pra nossa relação inicial:
det(B) = det(A) times det(M) = (-1) times 8 = -8

Resposta

(Alternativa D)

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