Vamos analisar o exercício que apresenta duas afirmações sobre matrizes simétricas e diagonalizabilidade. Precisamos verificar se cada afirmação é verdadeira ou falsa usando conceitos de álgebra linear, como matrizes simétricas, diagonalizabilidade, autovalores e multiplicidades.
Passo 2
Afirmação I: “Se , então é diagonalizável.”
Uma matriz que é igual à sua transposta () é chamada de matriz simétrica. Uma propriedade importante das matrizes simétricas é que elas são sempre diagonalizáveis. Isso significa que podemos encontrar uma matriz invertível e uma matriz diagonal tal que .
Portanto, a primeira afirmação é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: “Se é simétrica e é um autovalor de , então possui multiplicidade algébrica igual à sua multiplicidade geométrica.”
Para entender isso, vamos lembrar o que são multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica de um autovalor :
Multiplicidade Algébrica: É o número de vezes que aparece como raiz do polinômio característico da matriz .
Multiplicidade Geométrica: É a dimensão do espaço vetorial formado pelos autovetores correspondentes a .
Para matrizes simétricas, uma propriedade fundamental é que todos os autovalores são reais e que a multiplicidade algébrica é igual à multiplicidade geométrica. Isso garante que a matriz é diagonalizável e que seus autovalores possuem um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.
Portanto, a segunda afirmação também é verdadeira.