Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
, então
é diagonalizável.
II - Se
é simétrica e
é um autovalor de
, então
possui multiplicidade algébrica igual a sua multiplicidade geométrica.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Passo 1
Vamos analisar o exercício que apresenta duas afirmações sobre matrizes simétricas e diagonalizabilidade. Precisamos verificar se cada afirmação é verdadeira ou falsa usando conceitos de álgebra linear, como matrizes simétricas, diagonalizabilidade, autovalores e multiplicidades.
Passo 2
Afirmação I: “Se
, então
é diagonalizável.”
Uma matriz
que é igual à sua transposta (
) é chamada de matriz simétrica. Uma propriedade importante das matrizes simétricas é que elas são sempre diagonalizáveis. Isso significa que podemos encontrar uma matriz invertível
e uma matriz diagonal
tal que
.
Portanto, a primeira afirmação é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: “Se
é simétrica e
é um autovalor de
, então
possui multiplicidade algébrica igual à sua multiplicidade geométrica.”
Para entender isso, vamos lembrar o que são multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica de um autovalor
:
- Multiplicidade Algébrica: É o número de vezes que
aparece como raiz do polinômio característico da matriz . - Multiplicidade Geométrica: É a dimensão do espaço vetorial formado pelos autovetores correspondentes a
.
Para matrizes simétricas, uma propriedade fundamental é que todos os autovalores são reais e que a multiplicidade algébrica é igual à multiplicidade geométrica. Isso garante que a matriz é diagonalizável e que seus autovalores possuem um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.
Portanto, a segunda afirmação também é verdadeira.
Resposta
A opção correta é a © Todas são verdadeiras.