Determine se a matriz
está em forma escalonada reduzida. Justifique.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma matriz e precisa descobrir se ela está na forma escalonada reduzida. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre Formas de Matrizes. Para resolver, vamos precisar entender o que é a forma escalonada reduzida e comparar com a matriz que você deu.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a forma escalonada reduzida. Uma matriz está nessa forma se ela cumprir quatro regrinhas:
  1. Todas as linhas não nulas estão acima das linhas nulas.
  2. O primeiro número diferente de cada linha (chamado de pivô) é 1.
  3. Cada pivô está para a direita do pivô da linha acima.
  4. Cada coluna que tem um pivô tem zeros em todas as outras posições.

Passo 3

Vamos olhar para a matriz que você forneceu:
Primeiro, vamos verificar a regra 1: todas as linhas têm números diferentes de zero, então não tem problema aqui.

Passo 4

Agora, a regra 2: o primeiro número de cada linha (os pivôs) são 1?
  • Na primeira linha, o pivô é 1.
  • Na segunda linha, o pivô é 1.
  • Na terceira linha, o pivô é 1.
    Tudo certo até aqui!

Passo 5

Segunda regra verificada! Vamos para a regra 3: cada pivô está mais para a direita que o da linha acima.
  • O pivô da segunda linha está na segunda coluna, que é à direita do pivô da primeira linha na primeira coluna.
  • O pivô da terceira linha está na terceira coluna, que é à direita do pivô da segunda linha na segunda coluna.
    Tudo correto de novo.

Passo 6

Agora, a regra 4: cada coluna que tem um pivô deve ter zeros em todas as outras posições.
  • Na coluna 1, o pivô é 1 e as outras posições já são zero.
  • Na coluna 2, o pivô é 1 e as outras posições já são zero.
  • Na coluna 3, o pivô é 1, mas olha só: na primeira linha tem um 3 e na segunda linha tem um 4, que não são zeros.

Passo 7

Como na coluna 3 temos números diferentes de zero acima do pivô (que é 1), a matriz não está na forma escalonada reduzida. Para estar nessa forma, essas posições deveriam ser zero.

Resposta

Não, a matriz não está em forma escalonada reduzida porque há números diferentes de zero acima do pivô na terceira coluna.

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Resolva o seguinte sistema de equações usando redução por linhas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se , então é diagonalizável.
II - Se é simétrica e é um autovalor de , então possui multiplicidade algébrica igual a sua multiplicidade geométrica.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Resolva o sistema: