Considere as afirmativas abaixo:
I - Se T é uma projeção ortogonal em um plano do R^3, então det(T-3 I)=0.
II - Se P é uma projeção ortogonal em uma reta do R^3, então det(P-I) neq 0.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão fala sobre projeções ortogonais em e pede para avaliarmos duas afirmações sobre determinantes de certas matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são projeções ortogonais, determinantes e como essas propriedades se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que é uma projeção ortogonal. Em , uma projeção ortogonal em um plano ou em uma reta é uma transformação linear que “projeta” vetores nesse plano ou reta de forma que a projeção seja a mais próxima possível do vetor original. Matemáticamente, se ou é uma projeção ortogonal, então ela satisfaz ou , respectivamente. Isso significa que aplicar a projeção duas vezes é a mesma coisa que aplicar uma vez.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o determinante de uma matriz. O determinante é um número que nos dá informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Se o determinante for zero, a matriz não é invertível (ou seja, é singular). Se for diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 4

Vamos analisar a Afirmação I:
“I - Se det(T - 3I) = (-2) times (-2) times (-3) = -12 neq 0 é uma projeção ortogonal em um plano do , então .”
Para ver se isso é verdade, precisamos entender os valores próprios de . Como é uma projeção ortogonal em um plano, seus valores próprios são:
  • 1 (correspondente aos vetores no plano, pois eles permanecem inalterados pela projeção).
  • 0 (correspondente ao vetor ortogonal ao plano, que é “eliminado” pela projeção).
Então, a matriz terá valores próprios (duas vezes, já que é um plano) e .
O determinante de será o produto desses valores próprios:
Portanto, , o que faz a Afirmação I ser falsa.

Passo 5

Agora, vamos para a Afirmação II:
“II - Se det(P - I) = 0 times (-1) times (-1) = 0 é uma projeção ortogonal em uma reta do , então .”
Aqui, é uma projeção ortogonal em uma reta, então seus valores próprios são:
  • 1 (correspondente aos vetores na reta).
  • 0 (correspondente aos vetores no plano ortogonal à reta).
A matriz terá valores próprios e (duas vezes, já que o plano é bidimensional).
O determinante de será:
Portanto, , o que faz a Afirmação II também ser falsa.

Resposta

(B) Todas são falsas.

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