Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é uma projeção ortogonal em um plano do
, então
.
II - Se
é uma projeção ortogonal em uma reta do
, então
.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão fala sobre projeções ortogonais em
e pede para avaliarmos duas afirmações sobre determinantes de certas matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são projeções ortogonais, determinantes e como essas propriedades se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que é uma projeção ortogonal. Em
, uma projeção ortogonal em um plano ou em uma reta é uma transformação linear que “projeta” vetores nesse plano ou reta de forma que a projeção seja a mais próxima possível do vetor original. Matemáticamente, se
ou
é uma projeção ortogonal, então ela satisfaz
ou
, respectivamente. Isso significa que aplicar a projeção duas vezes é a mesma coisa que aplicar uma vez.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o determinante de uma matriz. O determinante é um número que nos dá informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Se o determinante for zero, a matriz não é invertível (ou seja, é singular). Se for diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 4
Vamos analisar a Afirmação I:
“I - Se
é uma projeção ortogonal em um plano do
, então
.”
Para ver se isso é verdade, precisamos entender os valores próprios de
. Como
é uma projeção ortogonal em um plano, seus valores próprios são:
- 1 (correspondente aos vetores no plano, pois eles permanecem inalterados pela projeção).
- 0 (correspondente ao vetor ortogonal ao plano, que é “eliminado” pela projeção).
Então, a matriz
terá valores próprios
(duas vezes, já que é um plano) e
.
O determinante de
será o produto desses valores próprios:
Portanto,
, o que faz a Afirmação I ser falsa.
Passo 5
Agora, vamos para a Afirmação II:
“II - Se
é uma projeção ortogonal em uma reta do
, então
.”
Aqui,
é uma projeção ortogonal em uma reta, então seus valores próprios são:
- 1 (correspondente aos vetores na reta).
- 0 (correspondente aos vetores no plano ortogonal à reta).
A matriz
terá valores próprios
e
(duas vezes, já que o plano é bidimensional).
O determinante de
será:
Portanto,
, o que faz a Afirmação II também ser falsa.
Resposta
(B) Todas são falsas.