Sabemos que existe P inversível tal que
[rrr 3 & 4 & 4 2 & 1 & 2 -4 & 4 & -1 ]=P[rrr -1 & 0 & 0 0 & a & 0 0 & 0 & b ] P^-1 com a
A 3a coluna da matriz P é múltipla de:
(A) [l4 * 0]
(B) [r4 * -2]
© [r4 * -1]
(D) [r4 * -3]
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz e diz que ela pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal com valores , e (com ). Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a terceira coluna da matriz , especificamente, qual vetor ela é múltiplo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é uma matriz cujas colunas são os autovetores de , e contém os autovalores correspondentes na diagonal. Essa forma é chamada de diagonalização da matriz .

Passo 3

Como queremos a terceira coluna de , precisamos encontrar o autovetor correspondente ao autovalor . Mas antes, vamos identificar quais são os autovalores de .

Passo 4

Vamos calcular o determinante de para encontrar os autovalores. No entanto, já sabemos que os autovalores são , e , e a soma deles é igual ao traço da matriz (a soma dos elementos da diagonal principal).

Passo 5

Calculando o traço de Traço(A) = 3 + 1 + (-1) = 3 :
-1 + a + b = 3 implies a + b = 4 ç
Sabemos que:
(-1) cdot a cdot b = det(A)
E o produto dos autovalores é o determinante de det(A) = -3 :
-1 cdot a cdot b = -3 implies a cdot b = 3
Calculando o determinante de a + b = 4 a cdot b = 3 :
Então:
Agora temos um sistema:
Resolvendo, encontramos que os autovalores são reais e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar o autovetor correspondente ao autovalor A + I = 4 & 4 & 4 2 & 2 & 2 -4 & 4 & 0 . Para isso, resolvemos 1 1 -2 :
Resolvendo o sistema, descobrimos que o autovetor é proporcional a:

Passo 7

Como k cdot 1 1 -2 = k k -2k é a matriz cujas colunas são os autovetores de [r 4 * -2 ] , a terceira coluna de deve ser um múltiplo desse autovetor. Ou seja, é da forma:
Comparando com as opções, vemos que a única que se encaixa é a opção (B):

Resposta

A 3ª coluna da matriz r4 * -2 é múltipla de . Portanto, a resposta correta é a opção (B).

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