Sabemos que existe inversível tal que
A 3a coluna da matriz é múltipla de:
(A)
(B)
©
(D)
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz e diz que ela pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal com valores , e (com ). Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a terceira coluna da matriz , especificamente, qual vetor ela é múltiplo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é uma matriz cujas colunas são os autovetores de , e contém os autovalores correspondentes na diagonal. Essa forma é chamada de diagonalização da matriz .

Passo 3

Como queremos a terceira coluna de , precisamos encontrar o autovetor correspondente ao autovalor . Mas antes, vamos identificar quais são os autovalores de .

Passo 4

Vamos calcular o determinante de para encontrar os autovalores. No entanto, já sabemos que os autovalores são , e , e a soma deles é igual ao traço da matriz (a soma dos elementos da diagonal principal).

Passo 5

Calculando o traço de :
ç
Sabemos que:
E o produto dos autovalores é o determinante de :
Calculando o determinante de :
Então:
Agora temos um sistema:
Resolvendo, encontramos que os autovalores são reais e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar o autovetor correspondente ao autovalor . Para isso, resolvemos :
Resolvendo o sistema, descobrimos que o autovetor é proporcional a:

Passo 7

Como é a matriz cujas colunas são os autovetores de , a terceira coluna de deve ser um múltiplo desse autovetor. Ou seja, é da forma:
Comparando com as opções, vemos que a única que se encaixa é a opção (B):

Resposta

A 3ª coluna da matriz é múltipla de . Portanto, a resposta correta é a opção (B).

Exercícios relacionados

Seja uma matriz quadrada . Considere as afirmativas abaixo:
I - O posto de é .
II - O conjunto de colunas de é linearmente dependente.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
(1) Apenas I e II são verdadeiras.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é uma projeção ortogonal em um plano do , então .
II - Se é uma projeção ortogonal em uma reta do , então .
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se , então é diagonalizável.
II - Se é simétrica e é um autovalor de , então possui multiplicidade algébrica igual a sua multiplicidade geométrica.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei