Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz e diz que ela pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal com valores , e (com ). Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a terceira coluna da matriz , especificamente, qual vetor ela é múltiplo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é uma matriz cujas colunas são os autovetores de , e contém os autovalores correspondentes na diagonal. Essa forma é chamada de diagonalização da matriz .
Passo 3
Como queremos a terceira coluna de , precisamos encontrar o autovetor correspondente ao autovalor . Mas antes, vamos identificar quais são os autovalores de .
Passo 4
Vamos calcular o determinante de para encontrar os autovalores. No entanto, já sabemos que os autovalores são , e , e a soma deles é igual ao traço da matriz (a soma dos elementos da diagonal principal).
Passo 5
Calculando o traço de :
ç
Sabemos que:
E o produto dos autovalores é o determinante de :
Calculando o determinante de :
Então:
Agora temos um sistema:
Resolvendo, encontramos que os autovalores são reais e .
Passo 6
Agora, vamos encontrar o autovetor correspondente ao autovalor . Para isso, resolvemos :
Resolvendo o sistema, descobrimos que o autovetor é proporcional a:
Passo 7
Como é a matriz cujas colunas são os autovetores de , a terceira coluna de deve ser um múltiplo desse autovetor. Ou seja, é da forma:
Comparando com as opções, vemos que a única que se encaixa é a opção (B):
Resposta
A 3ª coluna da matriz é múltipla de . Portanto, a resposta correta é a opção (B).