Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz e diz que ela pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal com valores , e (com ). Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a terceira coluna da matriz , especificamente, qual vetor ela é múltiplo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é uma matriz cujas colunas são os autovetores de , e contém os autovalores correspondentes na diagonal. Essa forma é chamada de diagonalização da matriz .
Passo 3
Como queremos a terceira coluna de , precisamos encontrar o autovetor correspondente ao autovalor . Mas antes, vamos identificar quais são os autovalores de .
Passo 4
Vamos calcular o determinante de para encontrar os autovalores. No entanto, já sabemos que os autovalores são , e , e a soma deles é igual ao traço da matriz (a soma dos elementos da diagonal principal).
Passo 5
Calculando o traço de Traço(A) = 3 + 1 + (-1) = 3 :
-1 + a + b = 3 implies a + b = 4 ç
Sabemos que:
(-1) cdot a cdot b = det(A)
E o produto dos autovalores é o determinante de det(A) = -3 :
-1 cdot a cdot b = -3 implies a cdot b = 3
Calculando o determinante de a + b = 4 a cdot b = 3 :
Então:
Agora temos um sistema:
Resolvendo, encontramos que os autovalores são reais e .
Passo 6
Agora, vamos encontrar o autovetor correspondente ao autovalor A + I = 4 & 4 & 4 2 & 2 & 2 -4 & 4 & 0 . Para isso, resolvemos 1 1 -2 :
Resolvendo o sistema, descobrimos que o autovetor é proporcional a:
Passo 7
Como k cdot 1 1 -2 = k k -2k é a matriz cujas colunas são os autovetores de [r 4 * -2 ] , a terceira coluna de deve ser um múltiplo desse autovetor. Ou seja, é da forma:
Comparando com as opções, vemos que a única que se encaixa é a opção (B):
Resposta
A 3ª coluna da matriz r4 * -2 é múltipla de . Portanto, a resposta correta é a opção (B).