Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto das matrizes onde é a entrada da matriz da linha , coluna ) é um subespaço vetorial.
II - O conjunto é um subespaço vetorial. III - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que é um subespaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta três afirmativas sobre subespaços vetoriais. Nosso objetivo é verificar quais delas realmente descrevem subespaços vetoriais. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e aplicar alguns critérios básicos para verificar cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidamente o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço vetorial de um espaço vetorial maior se:
Contém o vetor zero: O elemento neutro do espaço.
É fechado sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também está em .
É fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo dele também está em .
Agora, vamos analisar cada uma das afirmativas usando esses critérios.
Passo 3
Análise da afirmativa I:
“O conjunto das matrizes onde é um subespaço vetorial.”
Vamos verificar os três critérios:
Contém o vetor zero?
A matriz zero tem todos os elementos iguais a zero, então . Mas o enunciado exige que . Portanto, a matriz zero não está neste conjunto.
Como a primeira condição já não é satisfeita, não precisamos verificar as outras. Assim, a afirmativa I não descreve um subespaço vetorial.
Passo 4
Análise da afirmativa II:
“O conjunto é um subespaço vetorial.”
Vamos ver os critérios:
Contém o vetor zero?
O vetor zero em é , que não está no conjunto .
Fechado sob adição?
Só temos um vetor, então a adição seria , que não está no conjunto.
Fechado sob multiplicação por escalar?
Se multiplicarmos por, digamos, 2: , que não está no conjunto.
Todas as condições falham, então a afirmativa II não é um subespaço vetorial.
Passo 5
Análise da afirmativa III:
“O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que é um subespaço vetorial.”
Vamos aplicar os critérios:
Contém o vetor zero?
O polinômio zero satisfaz . Então, contém o vetor zero.
Fechado sob adição?
Se temos dois polinômios e que satisfazem e , então:
Portanto, a soma também satisfaz a condição.
Fechado sob multiplicação por escalar?
Para um escalar e polinômio que satisfaz , temos:
Assim, também satisfaz a condição.
Todas as condições são atendidas, então a afirmativa III descreve um subespaço vetorial.