Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto das matrizes A3 times 3 onde a22+a33=5(ai j é a entrada da matriz A da linha i, coluna j ) é um subespaço vetorial.
II - O conjunto (1,1,1,1) subset R^4 é um subespaço vetorial. III - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(8)=6 p(2) é um subespaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta três afirmativas sobre subespaços vetoriais. Nosso objetivo é verificar quais delas realmente descrevem subespaços vetoriais. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e aplicar alguns critérios básicos para verificar cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidamente o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço vetorial de um espaço vetorial maior se:
  1. Contém o vetor zero: O elemento neutro do espaço.
  2. É fechado sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também está em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo dele também está em .
Agora, vamos analisar cada uma das afirmativas usando esses critérios.

Passo 3

Análise da afirmativa I:
“O conjunto das matrizes onde é um subespaço vetorial.”
Vamos verificar os três critérios:
  1. Contém o vetor zero?
    A matriz zero tem todos os elementos iguais a zero, então . Mas o enunciado exige que . Portanto, a matriz zero não está neste conjunto.
Como a primeira condição já não é satisfeita, não precisamos verificar as outras. Assim, a afirmativa I não descreve um subespaço vetorial.

Passo 4

Análise da afirmativa II:
“O conjunto é um subespaço vetorial.”
Vamos ver os critérios:
  1. Contém o vetor zero?
    O vetor zero em é , que não está no conjunto .
  2. Fechado sob adição?
    Só temos um vetor, então a adição seria , que não está no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar?
    Se multiplicarmos por, digamos, 2: , que não está no conjunto.
Todas as condições falham, então a afirmativa II não é um subespaço vetorial.

Passo 5

Análise da afirmativa III:
“O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que (p + q)(8) = p(8) + q(8) = 6 p(2) + 6 q(2) = 6 (p(2) + q(2)) = 6 (p + q)(2) é um subespaço vetorial.”
Vamos aplicar os critérios:
  1. Contém o vetor zero?
    O polinômio zero (c p)(8) = c p(8) = c times 6 p(2) = 6 times (c p(2)) = 6 (c p)(2) satisfaz . Então, contém o vetor zero.
  2. Fechado sob adição?
    Se temos dois polinômios e que satisfazem e , então:
    Portanto, a soma também satisfaz a condição.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar?
    Para um escalar e polinômio que satisfaz , temos:
    Assim, também satisfaz a condição.
Todas as condições são atendidas, então a afirmativa III descreve um subespaço vetorial.

Resposta

Apenas a afirmativa III é um subespaço vetorial.

Exercícios relacionados