Seja o conjunto dos tais que:
A dimensão de é:
(A) 16

Passo 1

Beleza, vamos ver isso aqui! O enunciado nos dá um conjunto de vetores de 19 dimensões que satisfazem algumas equações. Nosso objetivo é encontrar a dimensão desse conjunto . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas de equações lineares e como eles afetam a dimensão de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações que definem o conjunto :
Essas são quatro equações que relacionam diferentes componentes dos vetores em .

Passo 3

Vamos verificar se alguma dessas equações é redundante, ou seja, se ela pode ser obtida a partir das outras. Observando as primeiras três equações:
Agora, olhando para a quarta equação:
Substituindo por e por nas duas expressões, vemos que:
Isso é sempre verdadeiro e não nos dá nenhuma nova informação. Portanto, a quarta equação é redundante e podemos ignorá-la.

Passo 4

Agora que sabemos que temos apenas três equações independentes, podemos calcular a dimensão de . Em um espaço de , cada equação linear reduz a dimensão em 1. Assim, com três equações, a dimensão de será:

Resposta

A dimensão de é 16.

Exercícios relacionados

Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto das matrizes onde é a entrada da matriz da linha , coluna ) é um subespaço vetorial.
II - O conjunto é um subespaço vetorial. III - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que é um subespaço vetorial.
Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
(D) Apenas II é verdadeira.
Seja o conjunto dos tais que:
A dimensão de é:
(D) 18
Determine a dimensão de
.
(A) 0