Seja S o conjunto dos (x1, ldots, x19) in R^19 tais que:
c x5=x2 x15=x7 x12=x13 x5-x15=x2-x7
A dimensão de S é:
(A) 16

Passo 1

Beleza, vamos ver isso aqui! O enunciado nos dá um conjunto de vetores de 19 dimensões que satisfazem algumas equações. Nosso objetivo é encontrar a dimensão desse conjunto . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas de equações lineares e como eles afetam a dimensão de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações que definem o conjunto c x5=x2 x15=x7 x12=x13 x5-x15=x2-x7 :
Essas são quatro equações que relacionam diferentes componentes dos vetores em .

Passo 3

Vamos verificar se alguma dessas equações é redundante, ou seja, se ela pode ser obtida a partir das outras. Observando as primeiras três equações:
x5=x2, x15=x7, x12=x13
Agora, olhando para a quarta equação:
x5-x15=x2-x7
Substituindo x2 - x7 = x2 - x7 por e por nas duas expressões, vemos que:
Isso é sempre verdadeiro e não nos dá nenhuma nova informação. Portanto, a quarta equação é redundante e podemos ignorá-la.

Passo 4

Agora que sabemos que temos apenas três equações independentes, podemos calcular a dimensão de 19 - 3 = 16 . Em um espaço de , cada equação linear reduz a dimensão em 1. Assim, com três equações, a dimensão de será:

Resposta

A dimensão de é 16.

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