Seja p(x)=8+5 x+30 x^2 e barbeta=2+2 x+6 x^2, -1+x-5 x^2, -1+2 x-3 x^2 uma base do espaço dos polinômios de grau até 2. Denotando por [p]beta=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base beta, calcule o valor de c.
(F) -4

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um polinômio e uma base para o espaço dos polinômios de grau até 2. A tarefa é encontrar as coordenadas de nessa base e descobrir o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer polinômio no espaço de polinômios de grau até 2 pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos da base. Ou seja, queremos encontrar constantes p(x) = a(2 + 2x + 6x^2) + b(-1 + x - 5x^2) + c(-1 + 2x - 3x^2) , e tais que:

Passo 3

Vamos expandir a equação acima para facilitar a comparação dos coeficientes:
8 + 5x + 30x^2 = a(2) + a(2x) + a(6x^2) + b(-1) + b(x) + b(-5x^2) + c(-1) + c(2x) + c(-3x^2)
Simplificando:
8 + 5x + 30x^2 = (2a - b - c) + (2a + b + 2c)x + (6a - 5b - 3c)x^2

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Termo constante (sem 2a - b - c = 8 ):
2a + b + 2c = 5
  1. Coeficiente de 6a - 5b - 3c = 30 :
  1. Coeficiente de :

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
2a - b - c = 8 Rightarrow b = 2a - c - 8
Substituindo 2a + (2a - c - 8) + 2c = 5 4a + c - 8 = 5 4a + c = 13 Rightarrow c = 13 - 4a na segunda equação:
6a - 5(2a - (13 - 4a) - 8) - 3(13 - 4a) = 30 6a - 5(2a - 13 + 4a - 8) - 39 + 12a = 30 6a - 5(6a - 21) - 39 + 12a = 30 6a - 30a + 105 - 39 + 12a = 30 (6a - 30a + 12a) + (105 - 39) = 30 -12a + 66 = 30 -12a = -36 a = 3
Agora, substituindo c = 13 - 4(3) = 13 - 12 = 1 e na terceira equação:
Agora que temos , podemos encontrar :

Resposta

O valor de é .

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