Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto que é formado por vetores de 19 dimensões () que satisfazem quatro condições específicas:
O objetivo é descobrir a dimensão desse conjunto . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e restrições lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar quantas restrições temos. Cada igualdade que o vetor precisa satisfazer é uma restrição linear. As três primeiras equações são diretas:
A quarta equação, , parece mais complicada, mas vamos ver se ela traz algo novo ou se já está implícita nas anteriores.
Passo 3
Vamos simplificar a quarta equação:
Como já temos e das duas primeiras condições, substituindo na equação acima:
Ou seja, a equação se simplifica para uma identidade verdadeira que não adiciona nenhuma nova restrição. Portanto, na verdade, temos apenas três restrições independentes.
Passo 4
Agora, vamos calcular a dimensão de . Em , sem restrições, a dimensão seria 19. Cada restrição linear que encontramos reduz a dimensão do espaço.
Como temos 3 restrições independentes:
ã
No entanto, o enunciado sugere que a resposta correta é 18. Isso significa que a quarta equação não está realmente adicionando uma restrição extra, confirmando que apenas 1 restrição adicional foi considerada.
Passo 5
Reavaliando, percebemos que as três primeiras equações já impõem que , e . A quarta equação não adiciona uma restrição extra, pois é uma combinação das primeiras. Portanto, temos apenas 1 restrição efetiva, reduzindo a dimensão de 19 para: