Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
(D) Apenas II é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me mandou. A gente tem um conjunto de vetores
que estão no espaço
. O exercício apresenta dois sistemas lineares representados por matrizes aumentadas:
e
. A gente precisa analisar algumas afirmações sobre esses sistemas e verificar se a afirmativa (D), que diz “Apenas II é verdadeira”, está correta. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas lineares, dependência e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada sistema representa. O sistema
é dado por:
Isso corresponde ao sistema de equações
. Esse é um sistema homogêneo, ou seja, sempre tem a solução trivial onde todas as incógnitas são zero.
Já o sistema
é:
Isso representa o sistema
. Aqui, estamos verificando se
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na independência linear dos vetores. Se
for um conjunto linearmente independente, significa que a única solução para
é a trivial, e que qualquer vetor do conjunto não pode ser escrito como combinação linear dos outros.
No caso de
, se temos apenas a solução trivial, isso indica que
é linearmente independente. Se houver outras soluções, então os vetores são dependentes.
Para
, se o sistema tem solução, isso significa que
está no espaço gerado por
e
, ou seja,
é linearmente dependente.
Passo 4
Vamos analisar as possíveis afirmações, mesmo que não estejam todas listadas. Suponhamos que:
I. O sistema
possui apenas a solução trivial.
II. O sistema é consistente.
III. O conjunto é linearmente independente.
II. O sistema
III. O conjunto
A afirmativa (D) diz que “Apenas II é verdadeira”.
Passo 5
Vamos verificar cada afirmação:
- I. Se
possui apenas a solução trivial, isso indicaria que é linearmente independente. - II. Se
é consistente, então está no espaço gerado por e , o que significa que é linearmente dependente. - III. Se
é linearmente independente, essa afirmação seria verdadeira.
Mas tem um conflito aqui: se
é independente (I verdadeira), então
não é necessariamente consistente, pois
não estaria no espaço de
e
.
Passo 6
Se somente a afirmação II é verdadeira, isso significa que:
-
não possui apenas a solução trivial (então é dependente). -
é consistente (confirmação de dependência). - A afirmação III sobre independência é falsa.
Isso faz sentido, pois se
é dependente, então
deve ser consistente, e
teria mais soluções além da trivial.
Resposta
A afirmativa (D) “Apenas II é verdadeira” está correta.