Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
II - O conjunto das matrizes
onde
é a entrada da matriz
da linha
, coluna
) é um subespaço vetorial.
III - O conjunto
é um subespaço vetorial.
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
(I) Não sei
I - O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
II - O conjunto das matrizes
III - O conjunto
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre subespaços vetoriais. A gente vai analisar três afirmações para ver quais são verdadeiras. Pra isso, precisamos saber o que é um subespaço vetorial: basicamente, é um conjunto de vetores que, além de incluir o vetor zero, é fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar. Vamos verificar cada afirmação uma por uma.
Passo 2
Afirmação I: O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
Um sistema linear homogêneo é da forma
, onde
é uma matriz e
é um vetor. O conjunto de todas as soluções desse sistema forma um conjunto de vetores que sempre inclui o vetor zero. Além disso, se você pegar duas soluções quaisquer e somar elas, ou multiplicar uma solução por um escalar, o resultado ainda será uma solução. Portanto, esse conjunto satisfaz as propriedades de um subespaço vetorial.
Passo 3
Afirmação II: O conjunto das matrizes
onde
é um subespaço vetorial.
Vamos pensar nas matrizes que obedecem
. Primeiro, o conjunto inclui a matriz zero, porque para ela,
. Agora, vamos ver se a soma de duas matrizes que satisfazem a condição também satisfaz:
Se
e
são duas tais matrizes, então:
Então, a soma também satisfaz a condição. E para a multiplicação por um escalar
:
Portanto, multiplicar por um escalar também mantém a condição. Assim, esse conjunto é um subespaço vetorial.
Passo 4
Afirmação III: O conjunto
é um subespaço vetorial.
Esse conjunto contém apenas o vetor zero. Para ser um subespaço, ele precisa incluir o vetor zero, estar fechado na adição e na multiplicação por escalar. Como só tem o vetor zero, essas condições são automaticamente satisfeitas. Então, esse conjunto é de fato um subespaço vetorial.
Passo 5
Agora, vamos ver quais afirmações são verdadeiras:
- I é verdadeira.
- II é verdadeira.
- III é verdadeira.
Então, todas as três afirmações estão corretas.
Resposta
© Todas são verdadeiras.