Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
II - O conjunto das matrizes A3 times 3 onde a22=-a33(ai j é a entrada da matriz A da linha i, coluna j ) é um subespaço vetorial.
III - O conjunto (0,0,0,0) subset R^4 é um subespaço vetorial.
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre subespaços vetoriais. A gente vai analisar três afirmações para ver quais são verdadeiras. Pra isso, precisamos saber o que é um subespaço vetorial: basicamente, é um conjunto de vetores que, além de incluir o vetor zero, é fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar. Vamos verificar cada afirmação uma por uma.

Passo 2

Afirmação I: O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
Um sistema linear homogêneo é da forma , onde é uma matriz e é um vetor. O conjunto de todas as soluções desse sistema forma um conjunto de vetores que sempre inclui o vetor zero. Além disso, se você pegar duas soluções quaisquer e somar elas, ou multiplicar uma solução por um escalar, o resultado ainda será uma solução. Portanto, esse conjunto satisfaz as propriedades de um subespaço vetorial.

Passo 3

Afirmação II: O conjunto das matrizes (A + B)22 = a22 + b22 = (-a33) + (-b33) = -(a33 + b33) = -(A+B)33 onde (cA)22 = c cdot a22 = c cdot (-a33) = -(c cdot a33) = -(cA)33 é um subespaço vetorial.
Vamos pensar nas matrizes que obedecem . Primeiro, o conjunto inclui a matriz zero, porque para ela, . Agora, vamos ver se a soma de duas matrizes que satisfazem a condição também satisfaz:
Se e são duas tais matrizes, então:
Então, a soma também satisfaz a condição. E para a multiplicação por um escalar :
Portanto, multiplicar por um escalar também mantém a condição. Assim, esse conjunto é um subespaço vetorial.

Passo 4

Afirmação III: O conjunto é um subespaço vetorial.
Esse conjunto contém apenas o vetor zero. Para ser um subespaço, ele precisa incluir o vetor zero, estar fechado na adição e na multiplicação por escalar. Como só tem o vetor zero, essas condições são automaticamente satisfeitas. Então, esse conjunto é de fato um subespaço vetorial.

Passo 5

Agora, vamos ver quais afirmações são verdadeiras:
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.
  • III é verdadeira.
Então, todas as três afirmações estão corretas.

Resposta

© Todas são verdadeiras.

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