Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre subespaços vetoriais. A gente vai analisar três afirmações para ver quais são verdadeiras. Pra isso, precisamos saber o que é um subespaço vetorial: basicamente, é um conjunto de vetores que, além de incluir o vetor zero, é fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar. Vamos verificar cada afirmação uma por uma.
Passo 2
Afirmação I:O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
Um sistema linear homogêneo é da forma , onde é uma matriz e é um vetor. O conjunto de todas as soluções desse sistema forma um conjunto de vetores que sempre inclui o vetor zero. Além disso, se você pegar duas soluções quaisquer e somar elas, ou multiplicar uma solução por um escalar, o resultado ainda será uma solução. Portanto, esse conjunto satisfaz as propriedades de um subespaço vetorial.
Passo 3
Afirmação II:O conjunto das matrizes onde é um subespaço vetorial.
Vamos pensar nas matrizes que obedecem . Primeiro, o conjunto inclui a matriz zero, porque para ela, . Agora, vamos ver se a soma de duas matrizes que satisfazem a condição também satisfaz:
Se e são duas tais matrizes, então:
Então, a soma também satisfaz a condição. E para a multiplicação por um escalar :
Portanto, multiplicar por um escalar também mantém a condição. Assim, esse conjunto é um subespaço vetorial.
Passo 4
Afirmação III:O conjunto é um subespaço vetorial.
Esse conjunto contém apenas o vetor zero. Para ser um subespaço, ele precisa incluir o vetor zero, estar fechado na adição e na multiplicação por escalar. Como só tem o vetor zero, essas condições são automaticamente satisfeitas. Então, esse conjunto é de fato um subespaço vetorial.
Passo 5
Agora, vamos ver quais afirmações são verdadeiras: