Uma equação paramétrica do plano (x, y, z) in R^3 ; 2 x-5 y-2 z=-3, onde s, t in R são parâmetros, é:
(A) (-1,1,-2)+t(-1,0,-7)+s(0,-9,21)
(B) (1,-1,5)+t(-1,0,-7)+s(0,-9,21)
© (1,-1,4)+t(-3,0,-5)+s(0,-10,22)
(D) (-1,1,-2)+t(-4,0,-4)+s(0,-6,15)
(E) (1,-1,4)+t(-4,0,-4)+s(0,-6,15)
(F) (1,-1,5)+t(-3,0,-5)+s(0,-10,22)
(G) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação do plano no espaço tridimensional: . A matéria que estamos vendo aqui é sobre equações paramétricas de planos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como transformar a equação geral de um plano em sua forma paramétrica, que envolve encontrar um ponto qualquer no plano e dois vetores que estão dentro do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um ponto que esteja no plano 2x - 5(0) - 2(0) = -3 Rightarrow 2x = -3 Rightarrow x = -32 . Podemos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, vamos deixar 2(0) - 5y - 2(0) = -3 Rightarrow -5y = -3 Rightarrow y = 35 e 2x - 5(1) - 2(0) = -3 Rightarrow 2x - 5 = -3 Rightarrow 2x = 2 Rightarrow x = 1 :
Então, um ponto no plano é . Mas para facilitar, vamos procurar outro ponto mais simples. Vamos tentar e :
Então, outro ponto no plano é . No entanto, vamos escolher um ponto inteiro para simplificar, por exemplo, e :
Então, um ponto no plano é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dois vetores que estão dentro do plano. Para isso, vamos encontrar vetores que, quando substituídos na equação do plano, satisfazem a igualdade.
Vamos supor que o vetor 2a - 5b - 2c = 0 está no plano, então:
2(-1) - 5b - 2(-7) = -2 - 5b + 14 = 12 - 5b = 0 Rightarrow b = 125
Vamos escolher dois valores para duas das componentes e resolver para a terceira. Por exemplo:
  1. Para o primeiro vetor, vamos deixar 2(-4) - 5b - 2(-4) = -8 - 5b + 8 = -5b = 0 Rightarrow b = 0 e 2(0) - 5b - 2(15) = -5b - 30 = 0 Rightarrow -5b = 30 Rightarrow b = -6 :
Mas para simplificar, vamos escolher e , mas o não fica inteiro. Talvez outra escolha seja melhor. Vamos tentar e :
Então, um vetor no plano é .
  1. Para o segundo vetor, vamos deixar e :
Então, outro vetor no plano é .

Passo 4

Com o ponto r = r0 + tv1 + sv2 e os vetores r = (1, 1, 0) + t(-4, 0, -4) + s(0, -6, 15) e , podemos escrever a equação paramétrica do plano. A forma geral da equação paramétrica é:
Onde:
  • é o ponto inicial no plano.
  • e são os vetores diretores do plano.
  • e são parâmetros reais.
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A equação paramétrica do plano é:
(1, 1, 0) + t(-4, 0, -4) + s(0, -6, 15)
Procurando nas alternativas, isso corresponde à opção (E).

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