Uma equação paramétrica do plano , onde são parâmetros, é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação do plano no espaço tridimensional: . A matéria que estamos vendo aqui é sobre equações paramétricas de planos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como transformar a equação geral de um plano em sua forma paramétrica, que envolve encontrar um ponto qualquer no plano e dois vetores que estão dentro do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um ponto que esteja no plano . Podemos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, vamos deixar e :
Então, um ponto no plano é . Mas para facilitar, vamos procurar outro ponto mais simples. Vamos tentar e :
Então, outro ponto no plano é . No entanto, vamos escolher um ponto inteiro para simplificar, por exemplo, e :
Então, um ponto no plano é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dois vetores que estão dentro do plano. Para isso, vamos encontrar vetores que, quando substituídos na equação do plano, satisfazem a igualdade.
Vamos supor que o vetor está no plano, então:
Vamos escolher dois valores para duas das componentes e resolver para a terceira. Por exemplo:
  1. Para o primeiro vetor, vamos deixar e :
Mas para simplificar, vamos escolher e , mas o não fica inteiro. Talvez outra escolha seja melhor. Vamos tentar e :
Então, um vetor no plano é .
  1. Para o segundo vetor, vamos deixar e :
Então, outro vetor no plano é .

Passo 4

Com o ponto e os vetores e , podemos escrever a equação paramétrica do plano. A forma geral da equação paramétrica é:
Onde:
  • é o ponto inicial no plano.
  • e são os vetores diretores do plano.
  • e são parâmetros reais.
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A equação paramétrica do plano é:
Procurando nas alternativas, isso corresponde à opção (E).

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Dados o conjunto gerador e
a) Mostrar que é uma base do
Encontre uma transformação linear tal que: ;
Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
II - O conjunto das matrizes onde é a entrada da matriz da linha , coluna ) é um subespaço vetorial.
III - O conjunto é um subespaço vetorial.
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas I e II são verdadeiras.
(I) Não sei
Seja um conjunto de 3 vetores distintos de . Sejam . Considere as afirmativas abaixo:
I - Se não são colineares, então é uma base de . II - Se e são todos LIs, então é LI.
III - Se é LD, então não pode ser LI.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Todas são verdadeiras.
(I) Não sei