Dados o conjunto gerador u=(1,1,1), v=(1,1,0) e w=(1,0,0)
a) Mostrar que u, v, w é uma base do R^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores no espaço tridimensional : , e . O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que esse conjunto de vetores forma uma base para . Isso significa que esses vetores precisam ser linearmente independentes e gerar todo o espaço. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear como determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa linearmente independentes. Três vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles dá o vetor zero, a não ser que todos os coeficientes sejam zero. Em termos matemáticos, queremos ver se a única solução para a equação:
a cdot u + b cdot v + c cdot w = 0
é .

Passo 3

Vamos montar essa equação com os vetores dados:
a(1,1,1) + b(1,1,0) + c(1,0,0) = (0,0,0)
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
a + b + c = 0 a + b = 0 a = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. A partir da terceira equação, já sabemos que:
a = 0
Substituindo 0 + b = 0 Rightarrow b = 0 na segunda equação:
0 + 0 + c = 0 Rightarrow c = 0
E agora, substituindo e na primeira equação:

Passo 5

Como a única solução para o sistema é , isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Agora, como temos três vetores lineares independentes no espaço , a gente já pode concluir que eles geram todo o espaço. Isso porque a dimensão de é 3, e temos exatamente três vetores independentes.

Resposta

Portanto, o conjunto é uma base de .

Exercícios relacionados