Dados o conjunto gerador e
a) Mostrar que é uma base do
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores no espaço tridimensional : , e . O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que esse conjunto de vetores forma uma base para . Isso significa que esses vetores precisam ser linearmente independentes e gerar todo o espaço. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear como determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa linearmente independentes. Três vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles dá o vetor zero, a não ser que todos os coeficientes sejam zero. Em termos matemáticos, queremos ver se a única solução para a equação:
é .
Passo 3
Vamos montar essa equação com os vetores dados:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. A partir da terceira equação, já sabemos que:
a = 0
Substituindo 0 + b = 0 Rightarrow b = 0 na segunda equação:
0 + 0 + c = 0 Rightarrow c = 0
E agora, substituindo e na primeira equação:
Passo 5
Como a única solução para o sistema é , isso significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Agora, como temos três vetores lineares independentes no espaço , a gente já pode concluir que eles geram todo o espaço. Isso porque a dimensão de é 3, e temos exatamente três vetores independentes.