Vamos dar uma olhada nessa questão! A gente tem duas afirmações sobre matrizes e autovetores, e precisa descobrir quais são verdadeiras. O assunto aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre autovetores, bases ortogonais e matrizes simétricas. Para resolver, vamos analisar cada afirmação passo a passo e usar conceitos básicos de Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a Afirmação I:
“Se possui uma base ortogonal de autovetores, então é simétrica.”
O que isso significa? Uma base ortogonal de autovetores é um conjunto de vetores que são autovetores de e que são mutuamente perpendiculares. Agora, se uma matriz possui essa propriedade, ela é chamada de matriz simétrica.
Por quê? De acordo com o Teorema Espectral, uma matriz real é simétrica se e somente se ela possui uma base ortogonal de autovetores. Isso quer dizer que ter uma base ortogonal de autovetores garante que a matriz é simétrica.
Então, a Afirmação I está correta.
Passo 3
Agora, vamos para a Afirmação II:
“Se possui inversa, então possui uma base de autovetores.”
O que isso significa? Uma matriz invertível é aquela que tem uma inversa, ou seja, existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade.
Será que isso garante uma base de autovetores? Não necessariamente. Uma matriz invertível tem determinante diferente de zero, o que significa que não tem valor próprio zero. No entanto, isso não garante que ela seja diagonalizável ou que tenha uma base de autovetores. Por exemplo, matrizes como são invertíveis mas não possuem uma base de autovetores.