com m in R.
Encontre o valor de m para que o sistema S possua solução única. Existe valor de m de forma que o sistema S possua infinitas soluções? E para que não possua solução?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares com duas variáveis, e , e um parâmetro . O objetivo é encontrar o valor de que faz com que o sistema tenha uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema de equações:
S: m x + 2 y = 6 (Equação 1) 3 x - y = -2 (Equação 2) x + y = 0 (Equação 3) çãçãçã
Como temos três equações e apenas duas variáveis, precisamos verificar se essas equações são dependentes ou independentes para determinar as soluções.
Passo 3
Vamos resolver as Equações 2 e 3 primeiro, já que elas não possuem o parâmetro x + y = 0 implies y = -x e podem ser mais fáceis de manipular.
Da Equação 3:
3x - (-x) = -2 3x + x = -2 4x = -2 x = -24 = -12
Agora, substituímos y = -(-12) = 12 na Equação 2:
x = -12, y = 12
Então, . Agora, substituímos esse valor de na expressão :
Portanto, temos uma solução para e baseada nas Equações 2 e 3:
Passo 4
Agora, vamos verificar se essa solução também satisfaz a Equação 1. Substituímos m (-12) + 2 (12) = 6 -m2 + 1 = 6 -m2 = 6 - 1 -m2 = 5 m = -10 e na Equação 1:
Então, para que a solução encontrada nas Equações 2 e 3 também satisfaça a Equação 1, o valor de deve ser .
Passo 5
Agora, vamos analisar as possibilidades para o sistema :
Solução Única: O sistema terá uma solução única quando todas as equações são consistentes e independentes, ou seja, quando .
Infinitas Soluções: Para que o sistema tenha infinitas soluções, as três equações devem ser dependentes, ou seja, uma delas é combinação linear das outras. No nosso caso, isso só ocorre se substituímos e verificar a consistência, mas já encontramos que para há uma única solução. Portanto, não existem valores de que façam o sistema ter infinitas soluções.
Nenhuma Solução: O sistema não terá solução quando as equações forem inconsistentes. Isso acontece para qualquer valor de diferente de , já que apenas para todas as equações são consistentes.
Resposta
O valor de que faz o sistema ter uma solução única é . Não existem valores de que tornem o sistema compatível indeterminado (com infinitas soluções). Para todos os outros valores de diferentes de , o sistema não possui solução.