Seja o triängulo de vértices A(-1,-2,1), B(-1,-2,0) e C(3,-2,1). Determinar o angulo interno so vértice B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com vértices nos pontos , e . Precisamos achar o ângulo interno no vértice . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produto escalar, que nos ajudam a encontrar ângulos entre vetores no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que partem de até os outros dois vértices e . Esses vetores são essenciais porque o ângulo que queremos é entre eles no ponto .

Passo 3

Vamos calcular os vetores BA = A - B = (-1 - (-1), -2 - (-2), 1 - 0) = (0, 0, 1) e BC = C - B = (3 - (-1), -2 - (-2), 1 - 0) = (4, 0, 1) :

Passo 4

Agora, vamos usar o produto escalar para encontrar o ângulo entre BA cdot BC = |BA| times |BC| times cos(theta) e BA cdot BC = (0)(4) + (0)(0) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1 . A fórmula do produto escalar é:
|BA| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 = 1
Primeiro, vamos calcular o produto escalar de |BC| = raiz4^2 + 0^2 + 1^2 = raiz16 + 0 + 1 = raiz17 e :
Agora, vamos calcular os comprimentos dos vetores:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula do produto escalar para encontrar 1 = 1 times raiz17 times cos(theta) :
cos(theta) = 1raiz17
theta = arccos(1raiz17)
Para encontrar o ângulo , usamos a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo interno no vértice é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Considere o sistema linear abaixo.
S:r m x+2 y=6 3 x-y=-2, x+y=0
com m in R.
Encontre o valor de m para que o sistema S possua solução única. Existe valor de m de forma que o sistema S possua infinitas soluções? E para que não possua solução?
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se M possui uma base ortogonal de autovetores, então M é simétrica.
II - Se C possui inversa, então C possui uma base de autovetores.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Relembrando, um sistema linear S: A cdot X=B é chamado de homogêneo se a matriz B é uma matriz nula. Neste caso, podemos concluir que o sistema S possui, pelo menos, a n-upla (0,0, ldots, 0) como solução.
Resolva os seguintes sistemas homogêneos:
S: x-y+2 z-t & =0 3 x+y+3 z+t & =0 x-y-z-5 t & =0
Determine o valor(es) de k in R para os quais o sistema a seguir admita uma única solução
c x+y=-3 2 x+4 y+z=0 k x+5 y+2 z=3