Vamos analisar se os polinômios , e são linearmente independentes. Estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente sobre a independência linear de vetores no espaço dos polinômios. Para resolver isso, vamos verificar se a única combinação linear desses polinômios que resulta no polinômio nulo é a combinação trivial (onde todos os coeficientes são zero).
Passo 2
Primeiro, vamos expandir os polinômios para facilitar os cálculos:
Passo 3
Agora, vamos supor que exista uma combinação linear desses polinômios que resulta no polinômio nulo. Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Passo 4
Vamos desenvolver essa expressão:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.
Passo 5
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, temos -2a = 0 que implica a = 0.
Substituindo a = 0 na primeira equação: 0 + b + c = 0, ou seja, b + c = 0.
E na segunda equação: 0 + 2b - c = 0.
Substituindo c = -b na segunda equação: 2b - (-b) = 3b = 0 isso implica b = 0, e consequentemente, c = 0.