Os polinômios (x-1)(x+2), x(x+2) e x(x-1) são linearmente independentes?

Passo 1

Vamos analisar se os polinômios (x-1)(x+2), x(x+2) e x(x-1) são linearmente independentes. Estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente sobre a independência linear de vetores no espaço dos polinômios. Para resolver isso, vamos verificar se a única combinação linear desses polinômios que resulta no polinômio nulo é a combinação trivial (onde todos os coeficientes são zero).

Passo 2

Primeiro, vamos expandir os polinômios para facilitar os cálculos:
  • (x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2
  • x(x + 2) = x^2 + 2x
  • x(x - 1) = x^2 - x

Passo 3

Agora, vamos supor que exista uma combinação linear desses polinômios que resulta no polinômio nulo. Ou seja, queremos encontrar escalares a, b e c tais que:
a(x^2 + x - 2) + b(x^2 + 2x) + c(x^2 - x) = 0

Passo 4

Vamos desenvolver essa expressão:
(a + b + c)x^2 + (a + 2b - c)x - 2a = 0
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x, os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero.

Passo 5

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + b + c = 0 a + 2b - c = 0 -2a = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, temos -2a = 0 que implica a = 0.
Substituindo a = 0 na primeira equação: 0 + b + c = 0, ou seja, b + c = 0.
E na segunda equação: 0 + 2b - c = 0.
Substituindo c = -b na segunda equação: 2b - (-b) = 3b = 0 isso implica b = 0, e consequentemente, c = 0.

Resposta

Sim, os polinômios são linearmente independentes.

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