Considere as afirmativas abaixo:
I - Se uma matriz quadrada tem autovetores entāo ela nāo tem inversa.
II - Sejam A umamatriz invertivel, lambda um autovalor de A e H o respectivo autoespaço. Entāo lambda^-1 é autovalor de A^-1 e o autoespaço as sociado é H.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© A penas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Nāo sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas afirmações sobre matrizes quadradas e autovalores/autovetores. Nosso objetivo é verificar quais dessas afirmações são verdadeiras. Para isso, vamos precisar entender o que são matrizes invertíveis, autovalores, autovetores e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a afirmação I: “Se uma matriz quadrada tem autovetores então ela não tem inversa.”
Ok, uma matriz quadrada pode ter autovetores, que são vetores não nulos que, quando multiplicados pela matriz, resultam em um múltiplo escalar do próprio vetor. Agora, uma matriz ter inversa significa que existe outra matriz que, quando multiplicadas, dão a matriz identidade.
Na verdade, o fato de uma matriz ter autovetores não impede que ela seja invertível. Muitas matrizes invertíveis têm autovetores. Por exemplo, a matriz identidade tem todos os vetores como autovetores e, claro, é invertível. Então, a afirmação I é falsa.

Passo 3

Agora vamos para a afirmação II: “Sejam A v = lambda v uma matriz invertível, A^-1 A v = A^-1 (lambda v) Rightarrow v = lambda A^-1 v Rightarrow A^-1 v = lambda^-1 v um autovalor de e o respectivo autoespaço. Então é autovalor de e o autoespaço associado é .”
Vamos entender isso. Se é invertível, então não é um autovalor de . Se é um autovalor de com autovetor , temos:
Como é invertível, podemos multiplicar os dois lados por :
Isso mostra que é um autovalor de com o mesmo autovetor . Portanto, o autoespaço associado também é . Assim, a afirmação II é verdadeira.

Resposta

A resposta correta é a opção © Apenas II é verdadeira.

Exercícios relacionados