Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal com entradas , e , e . Queremos descobrir qual das opções representa a terceira coluna da matriz , que é múltiplo de um dos vetores apresentados.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes e vetores próprios (ou autovetores).
Passo 2
Primeiro, sabemos que quando uma matriz é diagonalizada como , as colunas de são os vetores próprios de , e contém os autovalores correspondentes na diagonal.
Então, nossas colunas de são os vetores próprios associados aos autovalores , e .
Passo 3
Nos interessa a terceira coluna de , que é o vetor próprio associado ao maior autovalor, já que . Portanto, vamos encontrar o vetor próprio de correspondente ao autovalor .
Passo 4
Para encontrar o vetor próprio associado a A - bI = -3 - b & -3 & -3 -3 & 9 - b & -9 -1 & 7 & -5 - b , precisamos resolver a equação , onde é a matriz identidade e é o vetor próprio.
Vamos montar a matriz :
Passo 5
Para que haja soluções não triviais para , o determinante de deve ser zero. Porém, como estamos trabalhando com múltiplos, podemos comparar as opções fornecidas para identificar qual delas satisfaz essa condição.
As opções para a terceira coluna de são múltiplos de vetores com a primeira entrada , a segunda entrada desconhecida () e a terceira entrada variando (2, 3, 5, 4).
Passo 6
Vamos testar cada uma das opções para ver qual delas, multiplicada por v = -2 * 2 , resulta em um vetor nulo, indicando que é um vetor próprio.
Por exemplo, para a opção (A):
Aplicando , e resolvendo, verificamos se essa igualdade é satisfeita.