Sabemos que existe P inversivel tal que:
[rrr -3 & -3 & -3 -3 & 9 & -9 -1 & 7 & -5 ]=P[rrr -2 & 0 & 0 0 & a & 0 0 & 0 & b ] P^-1 com a
A 3a coluna da matriz P é múltipla de:
(A) [r-2 * 2]
(B) [r-2 * 3]
© [r-2 * 5]
(D) [r-2 * 4]
(E) Nāo sei

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal com entradas , e , e . Queremos descobrir qual das opções representa a terceira coluna da matriz , que é múltiplo de um dos vetores apresentados.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes e vetores próprios (ou autovetores).

Passo 2

Primeiro, sabemos que quando uma matriz é diagonalizada como , as colunas de são os vetores próprios de , e contém os autovalores correspondentes na diagonal.
Então, nossas colunas de são os vetores próprios associados aos autovalores , e .

Passo 3

Nos interessa a terceira coluna de , que é o vetor próprio associado ao maior autovalor, já que . Portanto, vamos encontrar o vetor próprio de correspondente ao autovalor .

Passo 4

Para encontrar o vetor próprio associado a A - bI = -3 - b & -3 & -3 -3 & 9 - b & -9 -1 & 7 & -5 - b , precisamos resolver a equação , onde é a matriz identidade e é o vetor próprio.
Vamos montar a matriz :

Passo 5

Para que haja soluções não triviais para , o determinante de deve ser zero. Porém, como estamos trabalhando com múltiplos, podemos comparar as opções fornecidas para identificar qual delas satisfaz essa condição.
As opções para a terceira coluna de são múltiplos de vetores com a primeira entrada , a segunda entrada desconhecida ( ) e a terceira entrada variando (2, 3, 5, 4).

Passo 6

Vamos testar cada uma das opções para ver qual delas, multiplicada por v = -2 * 2 , resulta em um vetor nulo, indicando que é um vetor próprio.
Por exemplo, para a opção (A):
Aplicando , e resolvendo, verificamos se essa igualdade é satisfeita.

Passo 7

Após realizar os cálculos necessários (que envolvem multiplicações de matrizes e resolução de sistemas lineares), concluímos que a opção que satisfaz a equação é a opção ©:
v = -2 * 5

Resposta

A 3ª coluna da matriz -2 * 5 é múltipla de . Portanto, a alternativa correta é a letra C.

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