Considere a sequência formada pela lei de recorrència xn+2=-3 xn+1487 xn+1, n=1,2,3, ldots. Se x1=63, para que valor de x2 temos lim n infty xn=0 ?
Dica: defina vn=[cxn xn+1] e note que
vn+1=[rr 0 & 1 -3 & 148 / 7 ] vn para n=1,2,3, ldots
Portanto vn+1=[rr0 & 1 -3 & 148 / 7]^n v1.
(A) 3
(B) 5
© 8
(D) 6
(E) 4
(F) 7
(G) 9
(H) 2
(I) Nāo sei

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida pela relação de recorrência com . Queremos encontrar o valor de tal que o limite da sequência, conforme tende ao infinito, seja zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de recorrência de sequências e matriz de transição.

Passo 2

Vamos começar representando a sequência em forma de vetor:
vn = xn xn+1
A relação de recorrência pode ser escrita como:
vn+1 = 0 & 1 -3 & 1487 vn
Essa matriz nos ajuda a entender como os termos da sequência evoluem.

Passo 3

Para que o limite da sequência seja zero, precisamos que os autovalores da matriz de transição tenham módulo menor que 1. Vamos calcular os autovalores da matriz:
lambda^2 - 1487lambda + 3 = 0
Calculando o discriminante:
De
As soluções são:
lambda = 1487 pm raiz4352 approx 21 e 0.14
O autovalor maior que 1 (≈21) pode fazer a sequência crescer, a menos que seu coeficiente seja zero.

Passo 4

Para garantir que a contribuição do autovalor grande seja zero, precisamos ajustar os valores iniciais da sequência. A solução geral da recorrência é:
xn = A (21)^n + B (0.14)^n
Para que x1 = 63 = A cdot 21 + B cdot 0.14 , o coeficiente x2 = A cdot 21^2 + B cdot 0.14^2 deve ser zero. Usando os valores iniciais:
63 = B cdot 0.14 Rightarrow B = 630.14 approx 450
x2 = 450 cdot 0.14 approx 63
Como x2 = B cdot 0.14^2 approx 450 cdot 0.02 approx 9 , temos:
Mas isso não faz sentido, então precisamos revisar. Na verdade, para :
Aproximadamente, .

Resposta

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