Considere a sequência formada pela lei de recorrència
. Se
, para que valor de
temos
?
Dica: defina
e note que
Portanto
.
(A) 3
(B) 5
© 8
(D) 6
(E) 4
(F) 7
(G) 9
(H) 2
(I) Nāo sei
Dica: defina
(A) 3
(B) 5
© 8
(D) 6
(E) 4
(F) 7
(G) 9
(H) 2
(I) Nāo sei
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida pela relação de recorrência
com
. Queremos encontrar o valor de
tal que o limite da sequência, conforme
tende ao infinito, seja zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de recorrência de sequências e matriz de transição.
Passo 2
Vamos começar representando a sequência em forma de vetor:
A relação de recorrência pode ser escrita como:
Essa matriz nos ajuda a entender como os termos da sequência evoluem.
Passo 3
Para que o limite da sequência seja zero, precisamos que os autovalores da matriz de transição tenham módulo menor que 1. Vamos calcular os autovalores da matriz:
Calculando o discriminante:
As soluções são:
O autovalor maior que 1 (≈21) pode fazer a sequência crescer, a menos que seu coeficiente seja zero.
Passo 4
Para garantir que a contribuição do autovalor grande seja zero, precisamos ajustar os valores iniciais da sequência. A solução geral da recorrência é:
Para que
, o coeficiente
deve ser zero. Usando os valores iniciais:
Como
, temos:
Mas isso não faz sentido, então precisamos revisar. Na verdade, para
:
Aproximadamente,
.
Resposta
© 8