Os vetores a e b formam um ângulo theta=pi6, calcular o ângulo entre os vetores p=a+b e q=a-b, sabendo que ||a||=raiz3 e ||b||=1.
RESP: cos theta=2 raiz77, theta cong 40^circ 53^prime 36,2^prime prime

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, a e b, que formam um ângulo de theta = pi6. A gente precisa descobrir qual é o ângulo entre os vetores p = a + b e q = a - b. Sabemos que o comprimento de a é ||a|| = raiz3 e o de b é ||b|| = 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente produto escalar e propriedades de ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores pode ser dado por:
u cdot v = ||u|| cdot ||v|| cdot cos(phi)
onde phi é o ângulo entre os vetores u e v. Nosso objetivo é encontrar o ângulo entre p e q, então vamos calcular p cdot q e os comprimentos de p e q.

Passo 3

Vamos calcular p cdot q:
p cdot q = (a + b) cdot (a - b) = a cdot a - a cdot b + b cdot a - b cdot b
Como a cdot b = b cdot a, temos:
p cdot q = ||a||^2 - ||b||^2
Substituindo os valores:
p cdot q = (raiz3)^2 - (1)^2 = 3 - 1 = 2

Passo 4

Agora, vamos encontrar os comprimentos de p e q. Primeiro, para p = a + b:
||p||^2 = (a + b) cdot (a + b) = ||a||^2 + 2 a cdot b + ||b||^2
Sabemos que:
a cdot b = ||a|| cdot ||b|| cdot cos(pi6) = raiz3 cdot 1 cdot raiz32 = 32
Então:
||p||^2 = 3 + 2 cdot 32 + 1 = 3 + 3 + 1 = 7 Rightarrow ||p|| = raiz7
Fazemos o mesmo para q = a - b:
||q||^2 = (a - b) cdot (a - b) = ||a||^2 - 2 a cdot b + ||b||^2 = 3 - 3 + 1 = 1 Rightarrow ||q|| = 1

Passo 5

Com p cdot q = 2, ||p|| = raiz7 e ||q|| = 1, podemos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre p e q:
p cdot q = ||p|| cdot ||q|| cdot cos(phi)
Substituindo os valores:
2 = raiz7 cdot 1 cdot cos(phi) Rightarrow cos(phi) = 2raiz7 = 2raiz77
Agora, para encontrar phi, tiramos o arco cosseno:
phi = arccos(2raiz77)
Calculando isso, obtemos aproximadamente:
phi approx 40^circ 53' 36,2''

Resposta

cos theta = 2raiz77, theta approx 40^circ 53' 36,2''

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