Seja e consideremos . Defina em a seguinte aplicação
Prove que , é.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um espaço vetorial , que são basicamente pares de números reais. Temos dois vetores nesse espaço, e . A gente definiu uma forma de multiplicação entre esses vetores chamada , que é dada por:
onde e são números reais diferentes de zero. O que a gente precisa fazer é provar que essa forma de multiplicação é um produto interno no espaço .
Produto interno é uma maneira de multiplicar dois vetores que satisfaz algumas propriedades específicas, como ser simétrico, linear e positivo definido. Se conseguimos mostrar que todas essas propriedades são verdadeiras para a nossa definição de , então podemos dizer que de fato temos um produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que uma operação precisa satisfazer para ser considerada um produto interno:
  1. Simetria: para todos os vetores .
  2. Linearidade em cada componente:
    • Em relação ao primeiro vetor: .
    • Em relação ao segundo vetor: .
  3. Positividade: para todo vetor , e se e somente se é o vetor zero.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa definição de .

Passo 3

1. Simetria
Vamos verificar se .
Calculando :
Calculando :
Como a multiplicação é comutativa ( e ), temos:
Portanto, a propriedade de simetria está satisfeita.

Passo 4

2. Linearidade
Vamos verificar a linearidade em relação a cada componente.
Em relação ao primeiro vetor:
Sejam e . Queremos mostrar que:
Calculando o lado esquerdo:
Distribuindo os termos:
Isso é igual a:
Em relação ao segundo vetor:
De forma similar, podemos mostrar que:
Portanto, a propriedade de linearidade está satisfeita em ambas as componentes.

Passo 5

3. Positividade
Precisamos mostrar que para todo vetor , e que somente quando é o vetor zero.
Calculando :
Como e são diferentes de zero, os denominadores e são positivos. E os quadrados e também são sempre não negativos. Portanto:
Além disso, se e somente se e , ou seja, quando é o vetor zero.

Resposta

Comprovei que a aplicação satisfaz as propriedades de simetria, linearidade e positividade definidas para um produto interno em . Portanto, é um produto interno sobre .

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Seja um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(b)
Seja a transformação
e seja um paralelepípedo com volume 2 . O volume do paralelepípedo transformado :
(A) é menor do que o volume de .
(B) é maior do que o volume de .
© pode ser maior ou menor do que o volume de .
(D) é igual ao volume de .
(E) Não sei
Determinar o valor de para que seja LI o conjunto:
.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é uma projeção ortogonal em um plano do , então .
II - Se é uma projeção ortogonal em uma reta do , então .
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei