Seja V=R^2 e consideremos u=(x1, y1), v=(x2, y2) in R^2. Defina em V a seguinte aplicação
lang<= u, vrang<==x1 x2a^2+y1 y2b^2, a, b in R^*
Prove que lang<=, rang<= é um produto interno sobre R^2é.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um espaço vetorial V = R^2, que são basicamente pares de números reais. Temos dois vetores nesse espaço, u = (x1, y1) e v = (x2, y2). A gente definiu uma forma de multiplicação entre esses vetores chamada lang<= u, v rang<=, que é dada por:
lang<= u, v rang<= = x1 x2a^2 + y1 y2b^2,
onde a e b são números reais diferentes de zero. O que a gente precisa fazer é provar que essa forma de multiplicação é um produto interno no espaço R^2.
Produto interno é uma maneira de multiplicar dois vetores que satisfaz algumas propriedades específicas, como ser simétrico, linear e positivo definido. Se conseguimos mostrar que todas essas propriedades são verdadeiras para a nossa definição de lang<= u, v rang<=, então podemos dizer que de fato temos um produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que uma operação precisa satisfazer para ser considerada um produto interno:
  1. Simetria: lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<= para todos os vetores u, v.
  2. Linearidade em cada componente:
    • Em relação ao primeiro vetor: lang<= alpha u + beta w, v rang<= = alpha lang<= u, v rang<= + beta lang<= w, v rang<=.
    • Em relação ao segundo vetor: lang<= u, alpha v + beta w rang<= = alpha lang<= u, v rang<= + beta lang<= u, w rang<=.
  3. Positividade: lang<= u, u rang<= >= 0 para todo vetor u, e lang<= u, u rang<= = 0 se e somente se u é o vetor zero.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa definição de lang<= u, v rang<=.

Passo 3

1. Simetria
Vamos verificar se lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=.
Calculando lang<= u, v rang<=:
lang<= u, v rang<= = x1 x2a^2 + y1 y2b^2
Calculando lang<= v, u rang<=:
lang<= v, u rang<= = x2 x1a^2 + y2 y1b^2
Como a multiplicação é comutativa ( x1 x2 = x2 x1 e y1 y2 = y2 y1), temos:
lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=
Portanto, a propriedade de simetria está satisfeita.

Passo 4

2. Linearidade
Vamos verificar a linearidade em relação a cada componente.
Em relação ao primeiro vetor:
Sejam u, w in R^2 e alpha, beta in R. Queremos mostrar que:
lang<= alpha u + beta w, v rang<= = alpha lang<= u, v rang<= + beta lang<= w, v rang<=
Calculando o lado esquerdo:
lang<= alpha u + beta w, v rang<= = (alpha xu + beta xw) xva^2 + (alpha yu + beta yw) yvb^2
Distribuindo os termos:
= alpha ( xu xva^2 + yu yvb^2 ) + beta ( xw xva^2 + yw yvb^2 )
Isso é igual a:
alpha lang<= u, v rang<= + beta lang<= w, v rang<=
Em relação ao segundo vetor:
De forma similar, podemos mostrar que:
lang<= u, alpha v + beta w rang<= = alpha lang<= u, v rang<= + beta lang<= u, w rang<=
Portanto, a propriedade de linearidade está satisfeita em ambas as componentes.

Passo 5

3. Positividade
Precisamos mostrar que lang<= u, u rang<= >= 0 para todo vetor u, e que lang<= u, u rang<= = 0 somente quando u é o vetor zero.
Calculando lang<= u, u rang<=:
lang<= u, u rang<= = x1^2a^2 + y1^2b^2
Como a e b são diferentes de zero, os denominadores a^2 e b^2 são positivos. E os quadrados x1^2 e y1^2 também são sempre não negativos. Portanto:
lang<= u, u rang<= >= 0
Além disso, lang<= u, u rang<= = 0 se e somente se x1 = 0 e y1 = 0, ou seja, quando u é o vetor zero.

Resposta

Comprovei que a aplicação lang<= u, v rang<= = x1 x2a^2 + y1 y2b^2 satisfaz as propriedades de simetria, linearidade e positividade definidas para um produto interno em R^2. Portanto, lang<= , , , rang<= é um produto interno sobre R^2.

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