Seja
e consideremos
. Defina em
a seguinte aplicação
Prove que
,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um espaço vetorial
, que são basicamente pares de números reais. Temos dois vetores nesse espaço,
e
. A gente definiu uma forma de multiplicação entre esses vetores chamada
, que é dada por:
onde
e
são números reais diferentes de zero. O que a gente precisa fazer é provar que essa forma de multiplicação é um produto interno no espaço
.
Produto interno é uma maneira de multiplicar dois vetores que satisfaz algumas propriedades específicas, como ser simétrico, linear e positivo definido. Se conseguimos mostrar que todas essas propriedades são verdadeiras para a nossa definição de
, então podemos dizer que de fato temos um produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que uma operação precisa satisfazer para ser considerada um produto interno:
- Simetria:
para todos os vetores . - Linearidade em cada componente:
- Em relação ao primeiro vetor:
. - Em relação ao segundo vetor:
.
- Em relação ao primeiro vetor:
- Positividade:
para todo vetor , e se e somente se é o vetor zero.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa definição de
.
Passo 3
1. Simetria
Vamos verificar se
.
Calculando
:
Calculando
:
Como a multiplicação é comutativa (
e
), temos:
Portanto, a propriedade de simetria está satisfeita.
Passo 4
2. Linearidade
Vamos verificar a linearidade em relação a cada componente.
Em relação ao primeiro vetor:
Sejam
e
. Queremos mostrar que:
Calculando o lado esquerdo:
Distribuindo os termos:
Isso é igual a:
Em relação ao segundo vetor:
De forma similar, podemos mostrar que:
Portanto, a propriedade de linearidade está satisfeita em ambas as componentes.
Passo 5
3. Positividade
Precisamos mostrar que
para todo vetor
, e que
somente quando
é o vetor zero.
Calculando
:
Como
e
são diferentes de zero, os denominadores
e
são positivos. E os quadrados
e
também são sempre não negativos. Portanto:
Além disso,
se e somente se
e
, ou seja, quando
é o vetor zero.
Resposta
Comprovei que a aplicação
satisfaz as propriedades de simetria, linearidade e positividade definidas para um produto interno em
. Portanto,
é um produto interno sobre
.