Determinar o valor de k para que seja LI o conjunto:
(-1,0,2),(1,1,1), k,-2,0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de que faz o conjunto ser linearmente independente (LI). Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz formada por esses vetores e garantir que ele seja diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz com os vetores dados como colunas:
A = -1 & 1 & k 0 & 1 & -2 2 & 1 & 0

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante nos ajuda a saber se os vetores são linearesmente independentes. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A) = -1 cdot 1 & -2 1 & 0 - 1 cdot 0 & -2 2 & 0 + k cdot 0 & 1 2 & 1 :
1 & -2 1 & 0 = (1)(0) - (1)(-2) = 0 + 2 = 2
Calculando cada menor:
0 & -2 2 & 0 = (0)(0) - (2)(-2) = 0 + 4 = 4
0 & 1 2 & 1 = (0)(1) - (2)(1) = 0 - 2 = -2
det(A) = -1 cdot 2 - 1 cdot 4 + k cdot (-2) = -2 - 4 - 2k = -6 - 2k
Substituindo de volta:

Passo 5

Para que os vetores sejam lineares independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
-6 - 2k neq 0
Resolvendo para -2k neq 6 k neq -3 :

Resposta

O conjunto é linearmente independente para todo valor de diferente de . Ou seja, .

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