Considere as afirmativas abaixo:
I - Sejam
um autovalor da matriz
e
o respectivo autoespaço. Então pode-se afirmar que
é autovalor de
e que
é o autoespaço associado.
II - Seja
uma matriz com entradas reais. Existe necessariamente um vetor não-nulo
cuja direção é preservada pela ação de
.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
I - Sejam
II - Seja
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Passo 1
Vamos resolver a questão que nos apresenta duas afirmações sobre matrizes e autovalores. O conteúdo envolvido é Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autoespaços. Para resolver, precisamos entender o que são autovalores, autoespaços e como eles se comportam ao elevar uma matriz a uma potência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a Afirmação I:
“Sejam
um autovalor da matriz
e
o respectivo autoespaço. Então pode-se afirmar que
é autovalor de
e que
é o autoespaço associado.”
Um autovalor
de uma matriz
é um número tal que existe um vetor não-nulo
(autovetor) onde
. O autoespaço
associado a
é o conjunto de todos os autovetores correspondentes a
, incluindo o vetor nulo.
Agora, ao elevar a matriz
ao quadrado, temos
. Isso mostra que
é um autovalor de
e que o mesmo autoespaço
está associado a ele.
Portanto, a Afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos analisar a Afirmação II:
“Seja
uma matriz com entradas reais. Existe necessariamente um vetor não-nulo
cuja direção é preservada pela ação de
.”
Isso significa que sempre existe um autovalor real para qualquer matriz quadrada de ordem par com entradas reais? Na Álgebra Linear, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, sabemos que todo polinômio de grau
tem exatamente
raízes (contando multiplicidades) no conjunto dos números complexos. Portanto, uma matriz quadrada de ordem
com entradas reais pode ter autovalores complexos. Porém, a existência de autovalores reais não é garantida, pois a matriz pode ter pares de autovalores complexos conjugados sem nenhum autovalor real.
Por exemplo, considere a matriz de rotação no plano estendido para
, que não possui autovalores reais. Portanto, não é garantido que exista um vetor não-nulo
cuja direção seja preservada por
.
Portanto, a Afirmação II é falsa.
Resposta
A opção correta é (A) Apenas I é verdadeira.