Considere as afirmativas abaixo:
I - Sejam lambda um autovalor da matriz A e H o respectivo autoespaço. Então pode-se afirmar que lambda^2 é autovalor de A^2 e que H é o autoespaço associado.
II - Seja A4 times 4 uma matriz com entradas reais. Existe necessariamente um vetor não-nulo v in R^4 cuja direção é preservada pela ação de A.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei

Passo 1

Vamos resolver a questão que nos apresenta duas afirmações sobre matrizes e autovalores. O conteúdo envolvido é Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autoespaços. Para resolver, precisamos entender o que são autovalores, autoespaços e como eles se comportam ao elevar uma matriz a uma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a Afirmação I:
“Sejam lambda um autovalor da matriz A e H o respectivo autoespaço. Então pode-se afirmar que lambda^2 é autovalor de A^2 e que H é o autoespaço associado.”
Um autovalor lambda de uma matriz A é um número tal que existe um vetor não-nulo v (autovetor) onde Av = lambdav. O autoespaço H associado a lambda é o conjunto de todos os autovetores correspondentes a lambda, incluindo o vetor nulo.
Agora, ao elevar a matriz A ao quadrado, temos A^2v = A(Av) = A(lambdav) = lambda Av = lambda (lambda v) = lambda^2v. Isso mostra que lambda^2 é um autovalor de A^2 e que o mesmo autoespaço H está associado a ele.
Portanto, a Afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos analisar a Afirmação II:
“Seja A4 times 4 uma matriz com entradas reais. Existe necessariamente um vetor não-nulo v in R^4 cuja direção é preservada pela ação de A.”
Isso significa que sempre existe um autovalor real para qualquer matriz quadrada de ordem par com entradas reais? Na Álgebra Linear, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, sabemos que todo polinômio de grau n tem exatamente n raízes (contando multiplicidades) no conjunto dos números complexos. Portanto, uma matriz quadrada de ordem 4 com entradas reais pode ter autovalores complexos. Porém, a existência de autovalores reais não é garantida, pois a matriz pode ter pares de autovalores complexos conjugados sem nenhum autovalor real.
Por exemplo, considere a matriz de rotação no plano estendido para R^4, que não possui autovalores reais. Portanto, não é garantido que exista um vetor não-nulo v in R^4 cuja direção seja preservada por A.
Portanto, a Afirmação II é falsa.

Resposta

A opção correta é (A) Apenas I é verdadeira.

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