Seja
uma matriz simétrica
e
a forma quadrática associada. Se o espectro de
é
, podemos afirmar que:
(A)
para todo
e existe
com
.
(B)
para todo
.
©
para todo
e existe
.
(D) existem
e
tais que
.
(E)
para todo
.
(F) Não sei
(A)
(B)
©
(D) existem
(E)
(F) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz simétrica
de ordem
e uma forma quadrática associada
. A gente também sabe que os valores próprios (espectro) de
são
. Nosso objetivo é analisar qual das alternativas sobre
está correta. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores próprios de uma matriz simétrica influenciam a forma quadrática associada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica tem valores próprios reais e que a forma quadrática
pode ser analisada observando os sinais dos seus valores próprios. Se todos os valores próprios forem positivos, a forma é definida positiva; se todos forem negativos, é definida negativa. Se houver combinação de positivos e negativos, a forma é indefinida.
Passo 3
No nosso caso, o espectro de
é
. Isso significa que
tem pelo menos um valor próprio positivo (5) e pelo menos um negativo (-1 e -8). Com essa combinação de sinais nos valores próprios, podemos concluir que a forma quadrática
é indefinida. Ou seja, ela pode assumir valores positivos e negativos dependendo do vetor
escolhido.
Passo 4
Vamos analisar as alternativas:
- (A)
para todo → Incorreto, pois temos um valor próprio positivo. - (B)
para todo → Incorreto, pois temos valores próprios negativos. - ©
para todo → Incorreto, mesmo motivo acima. - (D) Existem
e tais que → Correto, pois a forma é indefinida. - (E)
para todo → Incorreto, temos valores positivos.
Resposta
A alternativa correta é a (D): existem
e
tais que
.