Seja uma matriz simétrica e a forma quadrática associada. Se o espectro de é , podemos afirmar que:
(A) para todo e existe com .
(B) para todo .
© para todo e existe .
(D) existem e tais que .
(E) para todo .
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz simétrica de ordem e uma forma quadrática associada . A gente também sabe que os valores próprios (espectro) de são . Nosso objetivo é analisar qual das alternativas sobre está correta. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores próprios de uma matriz simétrica influenciam a forma quadrática associada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica tem valores próprios reais e que a forma quadrática pode ser analisada observando os sinais dos seus valores próprios. Se todos os valores próprios forem positivos, a forma é definida positiva; se todos forem negativos, é definida negativa. Se houver combinação de positivos e negativos, a forma é indefinida.

Passo 3

No nosso caso, o espectro de é . Isso significa que tem pelo menos um valor próprio positivo (5) e pelo menos um negativo (-1 e -8). Com essa combinação de sinais nos valores próprios, podemos concluir que a forma quadrática é indefinida. Ou seja, ela pode assumir valores positivos e negativos dependendo do vetor escolhido.

Passo 4

Vamos analisar as alternativas:
  • (A) para todo → Incorreto, pois temos um valor próprio positivo.
  • (B) para todo → Incorreto, pois temos valores próprios negativos.
  • © para todo → Incorreto, mesmo motivo acima.
  • (D) Existem e tais que → Correto, pois a forma é indefinida.
  • (E) para todo → Incorreto, temos valores positivos.

Resposta

A alternativa correta é a (D): existem e tais que .

Exercícios relacionados

A matriz abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em :
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Sejam um autovalor da matriz e o respectivo autoespaço. Então pode-se afirmar que é autovalor de e que é o autoespaço associado.
II - Seja uma matriz com entradas reais. Existe necessariamente um vetor não-nulo cuja direção é preservada pela ação de .
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Sabemos que existe inversível tal que:
A 3a coluna da matriz é múltipla de:
(A)
(B)
©
(D)
(E) Não sei
Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de :
b)