Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz simétrica de ordem e uma forma quadrática associada . A gente também sabe que os valores próprios (espectro) de são . Nosso objetivo é analisar qual das alternativas sobre está correta. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores próprios de uma matriz simétrica influenciam a forma quadrática associada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica tem valores próprios reais e que a forma quadrática pode ser analisada observando os sinais dos seus valores próprios. Se todos os valores próprios forem positivos, a forma é definida positiva; se todos forem negativos, é definida negativa. Se houver combinação de positivos e negativos, a forma é indefinida.
Passo 3
No nosso caso, o espectro de é . Isso significa que tem pelo menos um valor próprio positivo (5) e pelo menos um negativo (-1 e -8). Com essa combinação de sinais nos valores próprios, podemos concluir que a forma quadrática é indefinida. Ou seja, ela pode assumir valores positivos e negativos dependendo do vetor escolhido.
Passo 4
Vamos analisar as alternativas:
(A) para todo → Incorreto, pois temos um valor próprio positivo.
(B) para todo → Incorreto, pois temos valores próprios negativos.