Seja A uma matriz simétrica 5 times 5 e f(v)=v^T A v a forma quadrática associada. Se o espectro de A é 5,-1,-8, podemos afirmar que:
(A) f(v) <= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
(B) f(v)>0 para todo v neq 0.
© f(v) >= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
(D) existem v e w tais que f(v)<0.
(E) f(v)<0 para todo v neq 0.
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz simétrica de ordem e uma forma quadrática associada . A gente também sabe que os valores próprios (espectro) de são . Nosso objetivo é analisar qual das alternativas sobre está correta. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores próprios de uma matriz simétrica influenciam a forma quadrática associada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica tem valores próprios reais e que a forma quadrática pode ser analisada observando os sinais dos seus valores próprios. Se todos os valores próprios forem positivos, a forma é definida positiva; se todos forem negativos, é definida negativa. Se houver combinação de positivos e negativos, a forma é indefinida.

Passo 3

No nosso caso, o espectro de é . Isso significa que tem pelo menos um valor próprio positivo (5) e pelo menos um negativo (-1 e -8). Com essa combinação de sinais nos valores próprios, podemos concluir que a forma quadrática é indefinida. Ou seja, ela pode assumir valores positivos e negativos dependendo do vetor escolhido.

Passo 4

Vamos analisar as alternativas:
  • (A) para todo → Incorreto, pois temos um valor próprio positivo.
  • (B) para todo → Incorreto, pois temos valores próprios negativos.
  • © para todo → Incorreto, mesmo motivo acima.
  • (D) Existem e tais que → Correto, pois a forma é indefinida.
  • (E) para todo → Incorreto, temos valores positivos.

Resposta

A alternativa correta é a (D): existem e tais que .

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