Considere uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores . Seja uma matriz cujas colunas satisfazem: , e .
Sabendo que , assinale o valor :
(A) -27
(B) -21
© -24
(D) -18
(E) -15
(F) -33
(G) -36
(H) -30
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos duas matrizes, e . As colunas da matriz são os vetores no espaço tridimensional, . Já a matriz tem suas colunas formadas por combinações lineares dessas colunas de . A gente sabe também que o determinante de é . Nosso objetivo aqui é encontrar o determinante de , ou seja, .
Para resolver isso, precisamos entender como as colunas de são construídas a partir das colunas de e como isso afeta o determinante. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear de vetores e propriedades de determinantes em relação a multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz em termos de . Sabemos que cada coluna de é uma combinação linear das colunas de :
Isso significa que podemos escrever como o produto da matriz por uma outra matriz , onde é a matriz das combinações. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos identificar a matriz . Como cada coluna de é uma combinação das colunas de , a matriz será formada pelos coeficientes dessas combinações. Assim, temos:
Então, .

Passo 4

A próxima etapa é usar uma propriedade importante dos determinantes: o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes. Matematicamente, isso é expresso como:
Já sabemos que , então precisamos calcular .

Passo 5

Vamos calcular o determinante da matriz :
Para calcular , podemos usar a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:

Passo 6

Agora que temos e sabemos que , podemos encontrar usando a relação que mencionamos antes:

Resposta

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Calcule onde .
Sejam e matrizes quadradas de ordem . Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas: .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Sejam um autovalor da matriz e o respectivo autoespaço. Então pode-se afirmar que é autovalor de e que é o autoespaço associado.
II - Seja uma matriz com entradas reais. Existe necessariamente um vetor não-nulo cuja direção é preservada pela ação de .
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
A matriz abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em :
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei