Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos duas matrizes, e . As colunas da matriz são os vetores no espaço tridimensional, . Já a matriz tem suas colunas formadas por combinações lineares dessas colunas de . A gente sabe também que o determinante de é . Nosso objetivo aqui é encontrar o determinante de , ou seja, .
Para resolver isso, precisamos entender como as colunas de são construídas a partir das colunas de e como isso afeta o determinante. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear de vetores e propriedades de determinantes em relação a multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz em termos de . Sabemos que cada coluna de é uma combinação linear das colunas de :
Isso significa que podemos escrever como o produto da matriz por uma outra matriz , onde é a matriz das combinações. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos identificar a matriz . Como cada coluna de é uma combinação das colunas de , a matriz será formada pelos coeficientes dessas combinações. Assim, temos:
Então, .
Passo 4
A próxima etapa é usar uma propriedade importante dos determinantes: o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes. Matematicamente, isso é expresso como:
Já sabemos que , então precisamos calcular .
Passo 5
Vamos calcular o determinante da matriz :
Para calcular , podemos usar a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Passo 6
Agora que temos e sabemos que , podemos encontrar usando a relação que mencionamos antes: