Considere A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores a1, a2, a3 in R^3. Seja B uma matriz cujas colunas b1, b2, b3 satisfazem: b1=6 a1+6 a2+3 a3, b2=5 a1+5 a2+2 a3 e b3=3 a1+6 a2+2 a3.
Sabendo que det(A)=-3, assinale o valor do det(B) :
(A) -27
(B) -21
© -24
(D) -18
(E) -15
(F) -33
(G) -36
(H) -30
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos duas matrizes, e . As colunas da matriz são os vetores no espaço tridimensional, . Já a matriz tem suas colunas formadas por combinações lineares dessas colunas de . A gente sabe também que o determinante de é . Nosso objetivo aqui é encontrar o determinante de , ou seja, .
Para resolver isso, precisamos entender como as colunas de são construídas a partir das colunas de e como isso afeta o determinante. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear de vetores e propriedades de determinantes em relação a multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz b1 = 6a1 + 6a2 + 3a3 em termos de b2 = 5a1 + 5a2 + 2a3 . Sabemos que cada coluna de b3 = 3a1 + 6a2 + 2a3 é uma combinação linear das colunas de B = A cdot M :
Isso significa que podemos escrever como o produto da matriz por uma outra matriz , onde é a matriz das combinações. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos identificar a matriz M = 6 & 5 & 3 6 & 5 & 6 3 & 2 & 2 . Como cada coluna de é uma combinação das colunas de , a matriz será formada pelos coeficientes dessas combinações. Assim, temos:
Então, .

Passo 4

A próxima etapa é usar uma propriedade importante dos determinantes: o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes. Matematicamente, isso é expresso como:
det(B) = det(A cdot M) = det(A) cdot det(M)
Já sabemos que , então precisamos calcular .

Passo 5

Vamos calcular o determinante da matriz M = 6 & 5 & 3 6 & 5 & 6 3 & 2 & 2 :
det(M) = 6(5 cdot 2 - 6 cdot 2) - 5(6 cdot 2 - 6 cdot 3) + 3(6 cdot 2 - 5 cdot 3)
Para calcular det(M) = 6(10 - 12) - 5(12 - 18) + 3(12 - 15) , podemos usar a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(M) = 6(-2) - 5(-6) + 3(-3)
det(M) = -12 + 30 - 9 = 9

Passo 6

Agora que temos det(B) = det(A) cdot det(M) = (-3) cdot 9 = -27 e sabemos que , podemos encontrar usando a relação que mencionamos antes:

Resposta

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