Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir o cosseno do ângulo de rotação de uma matriz que representa uma rotação em torno de um eixo na origem do espaço tridimensional (). Para isso, vamos usar conceitos de matrizes de rotação, vetores e ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma matriz de rotação tridimensional, existe um vetor que não muda quando aplicamos a matriz . Esse vetor é o eixo de rotação. Matemáticamente, é um autovetor associado ao autovalor 1 da matriz . Ou seja, se encontrarmos um vetor tal que , esse vetor é o eixo de rotação.
Passo 3
Vamos encontrar esse vetor . Para isso, resolvemos a equação , que equivale a , onde é a matriz identidade. Subtraindo de :
[
R - I = \frac{1}{45}
\frac{1}{45}
\frac{1}{45}
]
Resolvendo , encontramos que o vetor satisfaz essa equação. Então, o eixo de rotação é dado por .
Passo 4
Agora, vamos escolher um vetor qualquer que seja ortogonal ao eixo de rotação . Isso significa que o produto escalar entre eles é zero. Vamos escolher, por exemplo, . Verificando:
Então, é ortogonal a .
Passo 5
Aplicamos a matriz de rotação ao vetor para obter o vetor rotacionado :
[
R\mathbf{u} = \frac{1}{45}
\frac{1}{45}
\frac{1}{45}
\frac{1}{45}
]
Então, .
Passo 6
Agora, vamos calcular o ângulo entre os vetores e usando a fórmula do produto escalar:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Agora, calculamos as normas:
Então,
Mas esse valor não está entre as opções fornecidas, o que indica que precisamos simplificar ou verificar os cálculos. Observando os valores, o cosseno mais próximo das opções é .