Vamos resumir o que o exercício nos pede. Temos uma matriz quadrada de dimensão com determinante . Precisamos analisar duas afirmações sobre :
I - O posto de é .
II - O conjunto de colunas de é linearmente dependente.
Para resolver, vamos precisar entender o que significa o determinante ser zero, o conceito de posto de uma matriz e de dependência linear das colunas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o determinante. Quando , isso significa que a matriz é singular, ou seja, não possui inversa. Esse é um indicativo importante sobre o posto da matriz.
Passo 3
O posto (ou rank) de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes na matriz. Se o posto de fosse igual a , a matriz seria invertível, o que não é o caso aqui, já que . Portanto, o posto de deve ser menor que .
Passo 4
Agora, vamos analisar o conjunto de colunas de . Se o posto da matriz é menor que , significa que há pelo menos uma coluna que pode ser escrita como combinação linear das outras. Isso quer dizer que as colunas de são linearmente dependentes.