Seja uma matriz quadrada . Considere as afirmativas abaixo:
I - O posto de é .
II - O conjunto de colunas de é linearmente dependente.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício nos pede. Temos uma matriz quadrada de dimensão com determinante . Precisamos analisar duas afirmações sobre :
I - O posto de é .
II - O conjunto de colunas de é linearmente dependente.
Para resolver, vamos precisar entender o que significa o determinante ser zero, o conceito de posto de uma matriz e de dependência linear das colunas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o determinante. Quando , isso significa que a matriz é singular, ou seja, não possui inversa. Esse é um indicativo importante sobre o posto da matriz.

Passo 3

O posto (ou rank) de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes na matriz. Se o posto de fosse igual a , a matriz seria invertível, o que não é o caso aqui, já que . Portanto, o posto de deve ser menor que .

Passo 4

Agora, vamos analisar o conjunto de colunas de . Se o posto da matriz é menor que , significa que há pelo menos uma coluna que pode ser escrita como combinação linear das outras. Isso quer dizer que as colunas de são linearmente dependentes.

Resposta

(B) Todas são verdadeiras.

Exercícios relacionados

Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
(1) Apenas I e II são verdadeiras.
Considere a sequência formada pela lei de recorrência . Se , para que valor de temos ?
Dica: defina e note que
Portanto .
(A) 6
(B) 5
© 9
(D) 3
(E) 8
(F) 2
(G) 7
(H) 4
(I) Não sei
Sabemos que existe inversível tal que
A 3a coluna da matriz é múltipla de:
(A)
(B)
©
(D)
(E) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é uma projeção ortogonal em um plano do , então .
II - Se é uma projeção ortogonal em uma reta do , então .
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei