Seja
uma matriz quadrada
. Considere as afirmativas abaixo:
I - O posto de
é
.
II - O conjunto de colunas de
é linearmente dependente.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
I - O posto de
II - O conjunto de colunas de
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício nos pede. Temos uma matriz quadrada
de dimensão
com determinante
. Precisamos analisar duas afirmações sobre
:
I - O posto de
é
.
II - O conjunto de colunas de
é linearmente dependente.
Para resolver, vamos precisar entender o que significa o determinante ser zero, o conceito de posto de uma matriz e de dependência linear das colunas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o determinante. Quando
, isso significa que a matriz
é singular, ou seja, não possui inversa. Esse é um indicativo importante sobre o posto da matriz.
Passo 3
O posto (ou rank) de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes na matriz. Se o posto de
fosse igual a
, a matriz seria invertível, o que não é o caso aqui, já que
. Portanto, o posto de
deve ser menor que
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o conjunto de colunas de
. Se o posto da matriz é menor que
, significa que há pelo menos uma coluna que pode ser escrita como combinação linear das outras. Isso quer dizer que as colunas de
são linearmente dependentes.
Resposta
(B) Todas são verdadeiras.