Seja A uma matriz quadrada n times n com det A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - O posto de A é .
II - O conjunto de colunas de A é linearmente dependente.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício nos pede. Temos uma matriz quadrada A de dimensão n times n com determinante det A = 0. Precisamos analisar duas afirmações sobre A:
I - O posto de A é .
II - O conjunto de colunas de A é linearmente dependente.
Para resolver, vamos precisar entender o que significa o determinante ser zero, o conceito de posto de uma matriz e de dependência linear das colunas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o determinante. Quando det A = 0, isso significa que a matriz A é singular, ou seja, não possui inversa. Esse é um indicativo importante sobre o posto da matriz.

Passo 3

O posto (ou rank) de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes na matriz. Se o posto de A fosse igual a n, a matriz seria invertível, o que não é o caso aqui, já que det A = 0. Portanto, o posto de A deve ser menor que n.

Passo 4

Agora, vamos analisar o conjunto de colunas de A. Se o posto da matriz é menor que n, significa que há pelo menos uma coluna que pode ser escrita como combinação linear das outras. Isso quer dizer que as colunas de A são linearmente dependentes.

Resposta

(B) Todas são verdadeiras.

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