Seja
uma matriz
cujos autovalores são -9 e 5 associados, respectivamente, a
e
.
Defina
. A inversa de
pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Defina
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz
de tamanho
que tem dois autovalores: -9 e 5, com vetores próprios
e
, respectivamente. A gente precisa descobrir qual das opções dadas expressa corretamente a inversa de
,
.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes, autovalores, vetores próprios e como eles se relacionam com a inversa da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
é uma matriz diagonalizável, podemos escrevê-la como:
Onde:
-
é a matriz cujas colunas são os vetores próprios de , ou seja, . -
é a matriz diagonal com os autovalores de na diagonal, então:
Passo 3
Agora, sabemos que a inversa de uma matriz diagonalizável pode ser encontrada da seguinte forma:
Usando a propriedade de que
, temos:
Passo 4
Vamos calcular
. Como
é uma matriz diagonal, a inversa é simplesmente uma matriz diagonal com os inversos dos elementos da diagonal original:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
A opção correta é a ©: