Seja A uma matriz 2 times 2 cujos autovalores são -9 e 5 associados, respectivamente, a v1 e v2.
Defina M=[llv1 & v2]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^-1=M[rr-9 & 0 0 & 5] M^-1
(B) A^-1=M^-1[rr-9 & 0 0 & 5] M
© A^-1=M[rr-19 & 0 0 & 15] M^-1
(D) A^-1=M[rr9 & 0 0 & -5] M^-1
(E) A^-1=M^-1[rr-19 & 0 0 & 15] M
(F) A^-1=M^-1[rr9 & 0 0 & -5] M
(G) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz de tamanho que tem dois autovalores: -9 e 5, com vetores próprios e , respectivamente. A gente precisa descobrir qual das opções dadas expressa corretamente a inversa de , .
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes, autovalores, vetores próprios e como eles se relacionam com a inversa da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se A = M Lambda M^-1 é uma matriz diagonalizável, podemos escrevê-la como:
Lambda = -9 & 0 0 & 5
Onde:
  • é a matriz cujas colunas são os vetores próprios de , ou seja, .
  • é a matriz diagonal com os autovalores de na diagonal, então:

Passo 3

Agora, sabemos que a inversa de uma matriz diagonalizável pode ser encontrada da seguinte forma:
A^-1 = (M Lambda M^-1)^-1
Usando a propriedade de que A^-1 = M (Lambda)^-1 M^-1 , temos:

Passo 4

Vamos calcular Lambda^-1 = -19 & 0 0 & 15 . Como é uma matriz diagonal, a inversa é simplesmente uma matriz diagonal com os inversos dos elementos da diagonal original:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de A^-1 = M -19 & 0 0 & 15 M^-1 :

Resposta

A opção correta é a ©:
A^-1 = M -19 & 0 0 & 15 M^-1

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