Encontre equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do segmento MN , com M= (0,7,4) e N=(9,8,7) e é paralela à reta r:(x, y, z)=(0,7,4)+lambda(2,0,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nesse exercício é encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto médio do segmento que liga os pontos M = (0,7,4) e N = (9,8,7). Além disso, essa reta precisa ser paralela à reta r que é dada por (x, y, z) = (0,7,4) + lambda(2,0,-1). Basicamente, a gente vai usar conceitos de geometria analítica para achar essa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio do segmento MN. A fórmula para achar o ponto médio entre dois pontos em 3D é pegar a média de cada coordenada correspondente. Ou seja:
Ponto Médio = ( xM + xN2, yM + yN2, zM + zN2 ) é
Aplicando isso aos pontos M = (0,7,4) e N = (9,8,7):
xmédio &= 0 + 92 = 92 = 4,5 ymédio &= 7 + 82 = 152 = 7,5 zmédio &= 4 + 72 = 112 = 5,5 ééé
Então, o ponto médio é (4,5, 7,5, 5,5).

Passo 3

Agora, precisamos que a reta que estamos procurando seja paralela à reta r. Isso significa que as duas retas devem ter o mesmo vetor diretor ou vetores proporcionais. Olhando a reta r:
r: (x, y, z) = (0,7,4) + lambda(2,0,-1)
O vetor diretor de r é (2,0,-1). Então, a reta que queremos também vai ter esse vetor diretor.

Passo 4

Com o ponto médio encontrado e o vetor diretor definido, podemos montar as equações paramétricas da reta que estamos procurando. A forma geral das equações paramétricas de uma reta em 3D é:
x = x0 + alambda y = y0 + blambda z = z0 + clambda
Onde (x0, y0, z0) é um ponto pela qual a reta passa e (a, b, c) é o vetor diretor.
No nosso caso, o ponto é (4,5, 7,5, 5,5) e o vetor diretor é (2,0,-1). Então, substituindo:
x = 4,5 + 2lambda y = 7,5 + 0lambda z = 5,5 - 1lambda

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 4,5 + 2lambda y = 7,5 z = 5,5 - lambda

Exercícios relacionados