Considere as afirmativas abaixo:
I - Toda reflexāo
é diagonalizável.
II - Se
é diagonalizável, entāo
possui 69 autovalores reais distintos.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) A penas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Nāo sei
I - Toda reflexāo
II - Se
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) A penas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Nāo sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício apresenta duas afirmações sobre transformações lineares e diagonalização. Nosso objetivo é verificar quais dessas afirmações são verdadeiras. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre reflexões, diagonalização de matrizes e propriedades de autovalores. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Analisando a afirmação I: “Toda reflexão
é diagonalizável.”
Primeiro, o que é uma reflexão? Em geometria linear, uma reflexão é uma transformação que “espelha” vetores em relação a um subespaço (como um plano ou uma linha). Matematicamente, uma reflexão tem apenas dois autovalores: 1 e -1.
Por que isso importa para diagonalização? Uma matriz ou transformação linear é diagonalizável se ela possui uma base de autovetores, ou seja, se podemos escrever a transformação como uma matriz diagonal em alguma base. No caso das reflexões, como temos apenas dois autovalores e uma base de autovetores pode ser formada, ela é diagonalizável.
Conclusão da afirmação I: Verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação II: “Se
é diagonalizável, então
possui 69 autovalores reais distintos.”
Vamos quebrar isso. Uma transformação linear ser diagonalizável significa que existe uma base de autovetores, mas não necessariamente que todos os autovalores sejam distintos. Ou seja, é possível ter autovalores repetidos (com multiplicidade maior que 1) e ainda assim a matriz ser diagonalizável, desde que haja autovetores suficientes.
Exemplo: A matriz identidade
em qualquer dimensão é diagonalizável e possui apenas um autovalor (1) repetido.
Conclusão da afirmação II: Falsa, porque a diagonalização não exige autovalores distintos.
Passo 4
Com base nas análises anteriores:
- Afirmação I: Verdadeira.
- Afirmação II: Falsa.
Portanto, apenas a primeira afirmação é verdadeira.
Resposta
(A) Apenas I é verdadeira.