Determinar o vetor v, sabendo que ele é ortogonal ao vetor a=(2,-3,1) e ao vetor b=(1,-2,3) e que satisfaz a seguinte condição; v bul<=t(doti+2 dotj-7 k)=10.
RESP: v=(7,5,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar um vetor v que seja ortogonal aos vetores a = (2, -3, 1) e b = (1, -2, 3). Além disso, v também precisa satisfazer a condição de que o produto interno com (i + 2j - 7k) seja igual a 10. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial e produto escalar, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, para encontrar um vetor que seja ortogonal a dois vetores dados, podemos usar o produto vetorial. O produto vetorial de a e b nos dá um vetor que é perpendicular a ambos.
O produto vetorial é calculado assim:
v = a times b = i & j & k 2 & -3 & 1 1 & -2 & 3
Vamos calcular isso:
v = i((-3)(3) - (1)(-2)) - j((2)(3) - (1)(1)) + k((2)(-2) - (-3)(1))
Simplificando:
v = i(-9 + 2) - j(6 - 1) + k(-4 + 3)
v = -7i - 5j -1k
Então, temos v = (-7, -5, -1).

Passo 3

Agora, precisamos ajustar esse vetor para que satisfaça a condição do produto interno:
v cdot (i + 2j - 7k) = 10
Vamos chamar o vetor encontrado de v = (-7, -5, -1) e multiplicar por um escalar k para ajustarmos o comprimento:
k(-7, -5, -1) cdot (1, 2, -7) = 10
Calculando o produto interno:
k[(-7)(1) + (-5)(2) + (-1)(-7)] = 10
k(-7 -10 + 7) = 10
k(-10) = 10
k = -1
Então, multiplicando o vetor original por -1:
v = -1 times (-7, -5, -1) = (7, 5, 1)

Resposta

v = (7,,5,,1)

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