Considere as afirmativas abaixo:
I - Toda rotação em em torno do eixo é diagonalizável.
II - Se possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 25 e 23 respectivamente, então é diagonalizável.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta duas afirmações sobre diagonalização de matrizes e pede para a gente dizer qual delas é verdadeira. O conteúdo envolve propriedades de rotações no espaço tridimensional e autovalores de transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser diagonalizável e analisar cada afirmação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a afirmação I: “Toda rotação em em torno do eixo é diagonalizável.” Diagonalizar uma matriz significa que ela pode ser representada por uma matriz diagonal em alguma base. No caso de rotações em 3D, essas matrizes geralmente têm autovalores complexos (exceto para vetores no eixo de rotação). Como diagonalização real exige autovalores reais, nem toda rotação em 3D é diagonalizável sobre os números reais.

Passo 3

Agora, vamos para a afirmação II: “Se possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 25 e 23 respectivamente, então é diagonalizável.” A diagonalização ocorre se a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores for igual à dimensão do espaço, que aqui é 48. Somando 25 e 23, temos 48, o que significa que existe uma base formada por autovetores de . Então, é diagonalizável.

Resposta

A resposta correta é (A) Apenas II é verdadeira.

Exercícios relacionados

Dados e , ache os pontos de que equidistam de .
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
Seja uma matriz cujos autovalores são -4 e 8 associados, respectivamente, a e .
Defina . A inversa de pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos abaixo e a distância entre eles.
e
Considere os pontos e a reta . Seja a reta paralela à passando pelo ponto . Assinale a alternativa com os valores de e tais que o ponto pertença a reta .
a) .
b)
c) .
d) .
e) .
f)