Dados A=(0,1,2) e r: X=(1,1,1)+t(1,-1,1), t in R, ache os pontos de r que equidistam raiz29 de A.
a) (3,-1,3) e(-1,3,-1).
b) (3,1,3) e(1,3,-1).
c) (4,-2,4) e(-2,4,-2).
d) (-5,-1,-5) e(5,1,5).
e) (0,-1,0) e(-1,0,-1).
f) (1,-1,3) e(-1,0,-1).

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria espacial. Temos um ponto e uma reta definida pela equação paramétrica , onde é um número real. Precisamos encontrar os pontos na reta que estão à distância do ponto . Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar qualquer ponto P(t) = (1 + t, 1 - t, 1 + t) na reta em termos do parâmetro . A equação paramétrica nos diz que:
Isso significa que as coordenadas de são , e .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos d = raiz(xP - xA)^2 + (yP - yA)^2 + (zP - zA)^2 e raiz(1 + t - 0)^2 + (1 - t - 1)^2 + (1 + t - 2)^2 = raiz29 :
Queremos que essa distância seja igual a , então vamos igualar e resolver para :

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz(1 + t)^2 + (-t)^2 + (-1 + t)^2 = raiz29
raiz(1 + 2t + t^2) + t^2 + (1 - 2t + t^2) = raiz29
raiz3t^2 + 2 = raiz29

Passo 5

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
3t^2 + 2 = 29
Subtraindo 2 de ambos os lados:
3t^2 = 27
Dividindo por 3:
t^2 = 9
Tirando a raiz quadrada:
t = pm 3

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes aos valores de P(3) = (1 + 3, 1 - 3, 1 + 3) = (4, -2, 4) :
Para P(-3) = (1 - 3, 1 + 3, 1 - 3) = (-2, 4, -2) :
Para :

Resposta

A alternativa correta é a) e .

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