Seja uma matriz cujos autovalores são -4 e 8 associados, respectivamente, a e .
Defina . A inversa de pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz de dimensão que tem dois autovalores: -4 e 8. Cada um desses autovalores está associado a um vetor próprio, chamado e , respectivamente. A matriz é formada juntando esses vetores próprios como colunas, ou seja:
O que precisamos fazer é encontrar a expressão correta para a inversa de , , usando a matriz e os autovalores dados. Vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz é diagonalizável, ela pode ser escrita na forma:
Aqui, é uma matriz diagonal que contém os autovalores de , e é a matriz cujas colunas são os autovetores de .

Passo 3

No nosso caso, os autovalores de são -4 e 8. Então, a matriz fica assim:
Portanto, a matriz pode ser escrita como:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a inversa de , ou seja, . Vamos usar a propriedade das matrizes invertíveis que diz que:

Passo 5

Lembrando que a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem reversa, temos:
Como , fica:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar , a inversa da matriz diagonal . Para uma matriz diagonal, a inversa é simplesmente a inversa de cada elemento da diagonal:

Passo 7

Substituindo na expressão de , temos:

Resposta

A expressão correta para é a opção (F):

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Determine as equações da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas
Encontre equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do segmento MN , com e e é paralela à reta .
Dados e , ache os pontos de que equidistam de .
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Toda rotação em em torno do eixo é diagonalizável.
II - Se possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 25 e 23 respectivamente, então é diagonalizável.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei