Seja A uma matriz 2 times 2 cujos autovalores são -4 e 8 associados, respectivamente, a v1 e v2.
Defina M=[llv1 & v2]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^-1=M^-1[rr-4 & 0 0 & 8] M
(B) A^-1=M[rr-4 & 0 0 & 8] M^-1
© A^-1=M^-1[rr4 & 0 0 & -8] M
(D) A^-1=M[rr4 & 0 0 & -8] M^-1
(E) A^-1=M^-1[rr-14 & 0 0 & 18] M
(F) A^-1=M[rr-14 & 0 0 & 18] M^-1
(G) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz M = v1 & v2 de dimensão que tem dois autovalores: -4 e 8. Cada um desses autovalores está associado a um vetor próprio, chamado e , respectivamente. A matriz é formada juntando esses vetores próprios como colunas, ou seja:
O que precisamos fazer é encontrar a expressão correta para a inversa de , , usando a matriz e os autovalores dados. Vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz A = M D M^-1 é diagonalizável, ela pode ser escrita na forma:
Aqui, é uma matriz diagonal que contém os autovalores de , e é a matriz cujas colunas são os autovetores de .

Passo 3

No nosso caso, os autovalores de D = -4 & 0 0 & 8 são -4 e 8. Então, a matriz A = M -4 & 0 0 & 8 M^-1 fica assim:
Portanto, a matriz pode ser escrita como:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a inversa de (A)^-1 = (M D M^-1)^-1 , ou seja, . Vamos usar a propriedade das matrizes invertíveis que diz que:

Passo 5

Lembrando que a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem reversa, temos:
A^-1 = (M^-1)^-1 D^-1 M^-1
Como A^-1 = M D^-1 M^-1 , fica:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar D^-1 = 1-4 & 0 0 & 18 = -14 & 0 0 & 18 , a inversa da matriz diagonal . Para uma matriz diagonal, a inversa é simplesmente a inversa de cada elemento da diagonal:

Passo 7

Substituindo A^-1 = M -14 & 0 0 & 18 M^-1 na expressão de , temos:

Resposta

A expressão correta para A^-1 = M -14 & 0 0 & 18 M^-1 é a opção (F):

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