Seja
uma matriz
cujos autovalores são -4 e 8 associados, respectivamente, a
e
.
Defina
. A inversa de
pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Defina
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz
de dimensão
que tem dois autovalores: -4 e 8. Cada um desses autovalores está associado a um vetor próprio, chamado
e
, respectivamente. A matriz
é formada juntando esses vetores próprios como colunas, ou seja:
O que precisamos fazer é encontrar a expressão correta para a inversa de
,
, usando a matriz
e os autovalores dados. Vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz
é diagonalizável, ela pode ser escrita na forma:
Aqui,
é uma matriz diagonal que contém os autovalores de
, e
é a matriz cujas colunas são os autovetores de
.
Passo 3
No nosso caso, os autovalores de
são -4 e 8. Então, a matriz
fica assim:
Portanto, a matriz
pode ser escrita como:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a inversa de
, ou seja,
. Vamos usar a propriedade das matrizes invertíveis que diz que:
Passo 5
Lembrando que a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem reversa, temos:
Como
, fica:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
, a inversa da matriz diagonal
. Para uma matriz diagonal, a inversa é simplesmente a inversa de cada elemento da diagonal:
Passo 7
Substituindo
na expressão de
, temos:
Resposta
A expressão correta para
é a opção (F):