Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz de dimensão que tem dois autovalores: -4 e 8. Cada um desses autovalores está associado a um vetor próprio, chamado e , respectivamente. A matriz é formada juntando esses vetores próprios como colunas, ou seja:
O que precisamos fazer é encontrar a expressão correta para a inversa de , , usando a matriz e os autovalores dados. Vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz é diagonalizável, ela pode ser escrita na forma:
Aqui, é uma matriz diagonal que contém os autovalores de , e é a matriz cujas colunas são os autovetores de .
Passo 3
No nosso caso, os autovalores de são -4 e 8. Então, a matriz fica assim:
Portanto, a matriz pode ser escrita como:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a inversa de , ou seja, . Vamos usar a propriedade das matrizes invertíveis que diz que:
Passo 5
Lembrando que a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem reversa, temos:
Como , fica:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar , a inversa da matriz diagonal . Para uma matriz diagonal, a inversa é simplesmente a inversa de cada elemento da diagonal: