Considere agora um cilindro com as mesmas dimensōes e possuindo a mesma carga, mas agora distribuida uniformemente pelo seu volume. Use o resultado do campo de um disco para achar o campo que o cilindro cria no mesmo ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o campo elétrico criado por um cilindro que tem a mesma carga e dimensões de um exemplo anterior, mas agora com a carga distribuída de forma uniforme pelo seu volume. Para resolver isso, vamos usar o resultado que já sabemos sobre o campo elétrico de um disco. Vamos precisar entender um pouco sobre integração e como somar os campos de muitos discos que formam o cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico devido a um disco carregado uniformemente pode ser expresso por uma fórmula específica. Essa fórmula nos dá a intensidade do campo elétrico em um ponto ao longo do eixo do disco. A ideia aqui é dividir o cilindro em muitos discos fininhos e somar o campo elétrico de cada um desses discos para obter o campo total do cilindro.

Passo 3

Vamos considerar um cilindro de raio rho = Qpi R^2 L , comprimento e carga total , distribuída uniformemente pelo volume. A densidade de carga volumétrica é dada por:

Passo 4

Dividimos o cilindro em discos com espessura dQ = rho cdot pi R^2 dz = QL dz ao longo do comprimento. A carga de um disco é:

Passo 5

O campo elétrico de um disco no ponto ao longo do eixo a uma distância dE = sigma2 epsilon0 (1 - zraizz^2 + R^2) dz do centro do disco é dado por:
Onde é a densidade de carga superficial, que podemos relacionar com .

Passo 6

Substituindo dE = Q2 pi epsilon0 R^2 L (1 - zraizz^2 + R^2) dz na expressão de , obtemos:

Passo 7

Para encontrar o campo total do cilindro, integramos E = integral0^L Q2 pi epsilon0 R^2 L (1 - zraizz^2 + R^2) dz ao longo de todo o comprimento do cilindro, de a :

Passo 8

Calculando essa integral, vemos que a parte constante pode ser trazida para fora:
E = Q2 pi epsilon0 R^2 L integral0^L (1 - zraizz^2 + R^2) dz

Passo 9

Resolvendo a integral, obtemos:
E = Q2 pi epsilon0 R^2 L [ z - raizz^2 + R^2 ]0^L

Passo 10

Substituindo os limites de integração:
E = Q2 pi epsilon0 R^2 L ( L - raizL^2 + R^2 - (0 - R) )
E = Q2 pi epsilon0 R^2 L ( L - raizL^2 + R^2 + R )

Resposta

O campo elétrico criado pelo cilindro no ponto considerado é:
E = Q2 pi epsilon0 R^2 L ( L - raizL^2 + R^2 + R )

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