Considere agora um cilindro com as mesmas dimensōes e possuindo a mesma carga, mas agora distribuida uniformemente pelo seu volume. Use o resultado do campo de um disco para achar o campo que o cilindro cria no mesmo ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o campo elétrico criado por um cilindro que tem a mesma carga e dimensões de um exemplo anterior, mas agora com a carga distribuída de forma uniforme pelo seu volume. Para resolver isso, vamos usar o resultado que já sabemos sobre o campo elétrico de um disco. Vamos precisar entender um pouco sobre integração e como somar os campos de muitos discos que formam o cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico devido a um disco carregado uniformemente pode ser expresso por uma fórmula específica. Essa fórmula nos dá a intensidade do campo elétrico em um ponto ao longo do eixo do disco. A ideia aqui é dividir o cilindro em muitos discos fininhos e somar o campo elétrico de cada um desses discos para obter o campo total do cilindro.
Passo 3
Vamos considerar um cilindro de raio
, comprimento
e carga total
, distribuída uniformemente pelo volume. A densidade de carga volumétrica é dada por:
Passo 4
Dividimos o cilindro em discos com espessura
ao longo do comprimento. A carga de um disco é:
Passo 5
O campo elétrico de um disco no ponto ao longo do eixo a uma distância
do centro do disco é dado por:
Onde
é a densidade de carga superficial, que podemos relacionar com
.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
, obtemos:
Passo 7
Para encontrar o campo total do cilindro, integramos
ao longo de todo o comprimento do cilindro, de
a
:
Passo 8
Calculando essa integral, vemos que a parte constante pode ser trazida para fora:
Passo 9
Resolvendo a integral, obtemos:
Passo 10
Substituindo os limites de integração:
Resposta
O campo elétrico criado pelo cilindro no ponto considerado é: