Você recebeu quatro diapasões. O diapasão com menor freqüência vibra a 500 Hz. Utilizando dois diapasões simultaneamente, são ouvidas as seguintes freqüências de batimentos: 1,2,3,5,7 e 8 Hz. Quais as freqüências possíveis para os outros três diapasões?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício envolvendo diapasões e batimentos sonoros. A gente precisa descobrir as frequências dos outros três diapasões, sabendo que um deles tem 500 Hz e que, ao usar dois diapasões juntos, aparecem batimentos de 1, 2, 3, 5, 7 e 8 Hz. Para resolver isso, vamos usar o conceito de batimentos sonoros, que ocorre quando dois sons de frequências ligeiramente diferentes são tocados juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são batimentos sonoros. Quando dois diapasões com frequências diferentes são tocados ao mesmo tempo, a diferença entre essas frequências é percebida como um pulso ou batimento. A fórmula para calcular a frequência do batimento ( fb = |f2 - f1| ) é:
Onde e são as frequências dos dois diapasões.

Passo 3

Sabemos que um dos diapasões tem 500 Hz. Vamos chamar os outros três de |f1 - 500|, |f2 - 500|, |f3 - 500|, |f1 - f2|, |f1 - f3|, |f2 - f3| = 1, 2, 3, 5, 7, 8 Hz , e . Quando combinamos o diapasão de 500 Hz com cada um dos outros, os batimentos resultantes são 1, 2, 3, 5, 7 e 8 Hz. Isso significa que:

Passo 4

Vamos começar assumindo que as frequências , e estão próximas de 500 Hz e que as diferenças correspondem aos menores batimentos. Vamos tentar atribuir os menores batimentos a essas diferenças diretas:
  • Hz → Hz ou Hz
  • Hz → Hz ou Hz
  • Hz → Hz ou Hz

Passo 5

Agora, vamos verificar se essas escolhas geram os outros batimentos desejados (5, 7 e 8 Hz) entre os diapasões , e :
  1. Hz → Já temos um batimento de 1 Hz
  2. Hz → Já temos um batimento de 2 Hz
  3. Hz → Já temos um batimento de 1 Hz
Mas faltaram os batimentos de 5, 7 e 8 Hz. Isso significa que talvez nossos diapasões , e estejam uma das frequências mais distantes de 500 Hz para gerar os batimentos maiores quando comparados entre si.

Passo 6

Vamos tentar outra combinação atribuindo os batimentos maiores às diferenças entre , e :
  • Hz → Hz ou Hz
  • Hz → Hz ou Hz
  • Hz → Hz ou Hz
Vamos ver se isso gera os batimentos necessários:
  1. Hz
  2. Hz
  3. Hz
Agora, temos batimentos de 1, 2 e 3 Hz, faltando os outros batimentos. Não conseguimos os 5, 7 e 8 Hz dessa forma.

Passo 7

Vamos tentar uma combinação mista, onde alguns diapasões estão acima e outros estão abaixo de 500 Hz. Por exemplo:
  • Hz ( Hz)
  • Hz ( Hz)
  • Hz ( Hz)
Agora, vamos verificar os batimentos:
  1. Hz
  2. Hz → Não está na lista
  3. Hz
Aqui, temos batimentos de 1, 2, 5 e 7 Hz. Faltam os de 3 e 8 Hz.

Passo 8

Vamos tentar outra combinação:
  • Hz ( Hz)
  • Hz ( Hz)
  • Hz ( Hz)
Verificando os batimentos:
  1. Hz → Não está na lista
  2. Hz
  3. Hz → Não está na lista
Acabamos com 1, 3 e 7, além de 8 Hz. Ainda faltando alguns.

Passo 9

Vamos ajustar novamente:
  • Hz ( Hz)
  • Hz ( Hz)
  • Hz ( Hz)
Batimentos:
  1. Hz
  2. Hz → Não está na lista
  3. Hz → Não está na lista
Ainda não está perfeito.

Passo 10

Vamos tentar uma última combinação:
  • Hz ( Hz)
  • Hz ( Hz)
  • Hz ( Hz)
Batimentos:
  1. Hz
  2. Hz
  3. Hz
Prontinho! Agora temos todos os batimentos necessários: 1, 2, 3, 5, 7 e 8 Hz.

Resposta

As frequências dos outros três diapasões são 499 Hz, 502 Hz e 507 Hz.

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