Encontre a transformada em seno de:
f(x)=lsen(x) (0 <= xpi)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos uma função f(x) = sin(x) & para 0 <= x < pi 0 & para x > pi definida da seguinte forma:
Queremos encontrar a transformada de seno dessa função. Isso faz parte do estudo das transformadas de Fourier, que ajudam a analisar funções em termos de suas componentes de frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a transformada de seno de Fourier. A fórmula geral é:
Fs(omega) = raiz2pi integral0^infty f(x) sin(omega x) , dx
Mas, como nossa função Fs(omega) = raiz2pi integral0^pi sin(x) sin(omega x) , dx é zero para , podemos simplificar o limite superior da integral para :

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral:
integral0^pi sin(x) sin(omega x) , dx
Para isso, usamos uma identidade trigonométrica que facilita a integração de produtos de senos:
sin(a) sin(b) = 12 [cos(a - b) - cos(a + b)]
Aplicando essa identidade, temos:
sin(x) sin(omega x) = 12 [cos((1 - omega)x) - cos((1 + omega)x)]

Passo 4

Substituindo na integral:
integral0^pi sin(x) sin(omega x) , dx = 12 integral0^pi [cos((1 - omega)x) - cos((1 + omega)x)] , dx
Vamos integrar termo a termo:
12 [ integral0^pi cos((1 - omega)x) , dx - integral0^pi cos((1 + omega)x) , dx ]

Passo 5

As integrais de cosseno são conhecidas:
integral cos(kx) , dx = sin(kx)k + C
Aplicando isso aos limites de 0 a 12 [ sin((1 - omega)x)1 - omega |0^pi - sin((1 + omega)x)1 + omega |0^pi ] :
sin((1 - omega)pi) e sin((1 + omega)pi)
Calculando nos limites:
Para sin(0) = 0 para ambos :
12 [ sin((1 - omega)pi)1 - omega - sin((1 + omega)pi)1 + omega ]
Para :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão da transformada:
Fs(omega) = raiz2pi cdot 12 [ sin((1 - omega)pi)1 - omega - sin((1 + omega)pi)1 + omega ]
Simplificando:
Fs(omega) = raiz2pi cdot 12 ( sin(pi(1 - omega))1 - omega - sin(pi(1 + omega))1 + omega )
E podemos deixar assim ou simplificar mais, dependendo do contexto.

Resposta

A transformada de seno de Fs(omega) = raiz2pi cdot 12 ( sin(pi(1 - omega))1 - omega - sin(pi(1 + omega))1 + omega ) é:

Exercícios relacionados