Encontre a transformada em seno de:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos uma função definida da seguinte forma:
Queremos encontrar a transformada de seno dessa função. Isso faz parte do estudo das transformadas de Fourier, que ajudam a analisar funções em termos de suas componentes de frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a transformada de seno de Fourier. A fórmula geral é:
Mas, como nossa função é zero para , podemos simplificar o limite superior da integral para :

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral:
Para isso, usamos uma identidade trigonométrica que facilita a integração de produtos de senos:
Aplicando essa identidade, temos:

Passo 4

Substituindo na integral:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 5

As integrais de cosseno são conhecidas:
Aplicando isso aos limites de 0 a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão da transformada:
Simplificando:
E podemos deixar assim ou simplificar mais, dependendo do contexto.

Resposta

A transformada de seno de é:

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Duas baterias de f.e.m. e resistência e respectivamente estão ligadas em paralelo. Mostre que a f.e.m. efetiva dessa combinação é onde .
Considere agora a equação
Com as condições de contorno e , encontre pelo método de transformada de Fourier.
Encontre a transformada em seno de:
Considere o mesmo oscilador harmônico amortecido do problema anterior, porém com a força externa dada por:
Sendo , encontre para .