Considere agora a placa da base de um ferro de passar de 800 W , espessura cm , área da base e condutividade térmica . A superfície interna da placa está sujeita a um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência do ferro, enquanto a superfície externa perde calor para o meio com , por convecção. Considerando que o coeficiente de TC por convecção é e desprezando a perda de calor por radiação. Obtenha a expressão para a variação de T na placa da base do ferro e avalie as temperaturas nas superfícies interna ( ) e externa ( ).
Resp:
a)
b) $T(x)=q^{c)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma placa de base de um ferro de passar com potência de 800 W, espessura de 0,6 cm, área de 160 cm² e condutividade térmica de 60 W/(m·K). A placa gera calor internamente e perde calor para o ambiente por convecção. Nosso objetivo é encontrar como a temperatura varia através da placa e determinar as temperaturas nas superfícies interna (T₁) e externa (T₂).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor e convecção. Vamos aplicar a equação da condução de calor com geração interna e considerar a perda de calor por convecção na superfície externa.
Passo 2
Vamos começar identificando as grandezas fornecidas e convertendo-as para unidades do Sistema Internacional (SI):
Potência,
Espessura,
Área da base,
Condutividade térmica,
Temperatura ambiente,
Coeficiente de convecção,
Passo 3
Para modelar a variação da temperatura na placa, usamos a equação de condução de calor com geração interna:
Onde é a geração de calor por unidade de volume. Sabemos que a potência total gerada é , então podemos relacionar isso à geração por unidade de área.
Passo 4
A geração de calor por unidade de área, , pode ser calculada dividindo a potência pela área:
Agora, substituímos esse valor na equação de condução:
Passo 5
Integrando a equação diferencial:
Primeira integração:
Segunda integração:
Onde e são constantes de integração que determinaremos usando as condições de contorno.
Passo 6
As condições de contorno são:
Na superfície interna (), a temperatura é .
Na superfície externa (), a perda de calor por convecção está relacionada à diferença de temperatura .
Aplicando :
Aplicando :
A derivada da temperatura na superfície externa está relacionada ao fluxo de calor por condução igual ao fluxo por convecção:
Substituindo a expressão de :
Passo 7
Substituindo :
Calculando:
Passo 8
Também sabemos que na superfície externa ():
Substituindo :
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações:
De , sabemos que é desconhecido.
Assumindo que a geração de calor interno iguala a perda por convecção, podemos resolver para e .
Passo 10
Resolvendo as equações, encontramos os valores das temperaturas nas superfícies interna e externa: