Considere o campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional dado pelos seguintes componentes no plano xy.
R21: ax & =-0,2341+1,75 x ay & =0,6894+1,75 y |a| & =4,65 m / s^2
& u=0,205+0,97 x+0,851 y & v=-0,509+0,953 x-0,97 y
Calcule o campo de aceleração (expressões para as componentes da aceleração ax e ay ), e calcule a aceleração (módulo) no ponto (x, y)=(2,1,5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional no plano xy, com as componentes de velocidade e dadas. O exercício quer que a gente calcule o campo de aceleração, ou seja, encontre as expressões para as componentes da aceleração e , e também calcule o módulo da aceleração no ponto . Para isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente as derivadas das componentes de velocidade em relação às coordenadas espaciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração em um campo de velocidade estacionário é dada pela soma da aceleração local e da aceleração convectiva. Mas como o campo é estacionário (não muda com o tempo), a aceleração local é zero. Então, a aceleração total é só a aceleração convectiva.
As fórmulas são:
ax = u partial upartial x + v partial upartial y
ay = u partial vpartial x + v partial vpartial y
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e .

Passo 3

Vamos anotar as funções de velocidade dadas:
u = 0,205 + 0,97x + 0,851y
v = -0,509 + 0,953x - 0,97y
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, calculamos partial upartial x = 0,97 e partial upartial y = 0,851 :
partial vpartial x = 0,953
partial vpartial y = -0,97
Depois, calculamos e :

Passo 4

Agora que temos as derivadas, vamos substituir na fórmula da aceleração.
Para ax = u cdot partial upartial x + v cdot partial upartial y = u cdot 0,97 + v cdot 0,851 :
ax = (0,205 + 0,97x + 0,851y) cdot 0,97 + (-0,509 + 0,953x - 0,97y) cdot 0,851
Substituindo ax = 0,205 cdot 0,97 + 0,97x cdot 0,97 + 0,851y cdot 0,97 + (-0,509) cdot 0,851 + 0,953x cdot 0,851 + (-0,97y) cdot 0,851 e ax = 0,19885 + 0,9409x + 0,82547y - 0,434359 + 0,810103x - 0,82547y :
ax = (0,19885 - 0,434359) + (0,9409x + 0,810103x) + (0,82547y - 0,82547y)
Vamos simplificar isso:
ax = -0,235509 + 1,751003x
Calculando cada termo:
ax approx -0,236 + 1,751x
Agora, somamos os termos semelhantes:
ay = u cdot partial vpartial x + v cdot partial vpartial y = u cdot 0,953 + v cdot (-0,97)
ay = (0,205 + 0,97x + 0,851y) cdot 0,953 + (-0,509 + 0,953x - 0,97y) cdot (-0,97)
Aproximando para três casas decimais:
ay = 0,205 cdot 0,953 + 0,97x cdot 0,953 + 0,851y cdot 0,953 + (-0,509) cdot (-0,97) + 0,953x cdot (-0,97) + (-0,97y) cdot (-0,97)
Para ay = 0,195665 + 0,92441x + 0,811103y + 0,49373 - 0,92341x + 0,94109y :
ay = (0,195665 + 0,49373) + (0,92441x - 0,92341x) + (0,811103y + 0,94109y)
Substituindo ay = 0,689395 + 0,001x + 1,752193y e ay approx 0,689 + 0,001x + 1,752y :
Vamos simplificar isso:
Calculando cada termo:
Agora, somamos os termos semelhantes:
Aproximando para três casas decimais:

Passo 5

Agora temos as expressões para as componentes da aceleração:
ax approx -0,236 + 1,751x
ay approx 0,689 + 0,001x + 1,752y

Passo 6

Vamos calcular o módulo da aceleração no ponto ax = -0,236 + 1,751 cdot 2 = -0,236 + 3,502 = 3,266 .
Primeiro, substituímos ay = 0,689 + 0,001 cdot 2 + 1,752 cdot 1,5 = 0,689 + 0,002 + 2,628 = 3,319 e |a| = raizax^2 + ay^2 = raiz(3,266)^2 + (3,319)^2 nas expressões de |a| = raiz10,669 + 11,035 = raiz21,704 approx 4,66 , m/s^2 e :
Agora, calculamos o módulo da aceleração:

Resposta

O campo de aceleração é dado por:
ax approx -0,236 + 1,751x
ay approx 0,689 + 0,001x + 1,752y
No ponto , o módulo da aceleração é aproximadamente .

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