Considere o campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional dado pelos seguintes componentes no plano xy.
Calcule o campo de aceleração (expressões para as componentes da aceleração
e
), e calcule a aceleração (módulo) no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional no plano xy, com as componentes de velocidade
e
dadas. O exercício quer que a gente calcule o campo de aceleração, ou seja, encontre as expressões para as componentes da aceleração
e
, e também calcule o módulo da aceleração no ponto
. Para isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente as derivadas das componentes de velocidade em relação às coordenadas espaciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração em um campo de velocidade estacionário é dada pela soma da aceleração local e da aceleração convectiva. Mas como o campo é estacionário (não muda com o tempo), a aceleração local é zero. Então, a aceleração total é só a aceleração convectiva.
As fórmulas são:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos anotar as funções de velocidade dadas:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, calculamos
e
:
Depois, calculamos
e
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas, vamos substituir na fórmula da aceleração.
Para
:
Substituindo
e
:
Vamos simplificar isso:
Calculando cada termo:
Agora, somamos os termos semelhantes:
Aproximando para três casas decimais:
Para
:
Substituindo
e
:
Vamos simplificar isso:
Calculando cada termo:
Agora, somamos os termos semelhantes:
Aproximando para três casas decimais:
Passo 5
Agora temos as expressões para as componentes da aceleração:
Passo 6
Vamos calcular o módulo da aceleração no ponto
.
Primeiro, substituímos
e
nas expressões de
e
:
Agora, calculamos o módulo da aceleração:
Resposta
O campo de aceleração é dado por:
No ponto
, o módulo da aceleração é aproximadamente
.