Considere o campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional dado pelos seguintes componentes no plano xy.
Calcule o campo de aceleração (expressões para as componentes da aceleração e ), e calcule a aceleração (módulo) no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional no plano xy, com as componentes de velocidade e dadas. O exercício quer que a gente calcule o campo de aceleração, ou seja, encontre as expressões para as componentes da aceleração e , e também calcule o módulo da aceleração no ponto . Para isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente as derivadas das componentes de velocidade em relação às coordenadas espaciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração em um campo de velocidade estacionário é dada pela soma da aceleração local e da aceleração convectiva. Mas como o campo é estacionário (não muda com o tempo), a aceleração local é zero. Então, a aceleração total é só a aceleração convectiva.
As fórmulas são:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e .

Passo 3

Vamos anotar as funções de velocidade dadas:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, calculamos e :
Depois, calculamos e :

Passo 4

Agora que temos as derivadas, vamos substituir na fórmula da aceleração.
Para :
Substituindo e :
Vamos simplificar isso:
Calculando cada termo:
Agora, somamos os termos semelhantes:
Aproximando para três casas decimais:
Para :
Substituindo e :
Vamos simplificar isso:
Calculando cada termo:
Agora, somamos os termos semelhantes:
Aproximando para três casas decimais:

Passo 5

Agora temos as expressões para as componentes da aceleração:

Passo 6

Vamos calcular o módulo da aceleração no ponto .
Primeiro, substituímos e nas expressões de e :
Agora, calculamos o módulo da aceleração:

Resposta

O campo de aceleração é dado por:
No ponto , o módulo da aceleração é aproximadamente .

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Resp:

a)
b) $T(x)=q^{c)