Considere a placa da base de um ferro de passar de 1200 W , espessura L=0,6 cm, área da base A=160 cm^2 e condutividade térmica k=60 W / m K. a superfície interna da placa está sujeita a um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência do ferro. Quando alcança condições de operação permanentes, a temperatura da superfície externa da placa mede 112^circ C. Desconsiderando qualquer perda de calor através da seção superior do ferro:
a) Expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da placa.
b) Obtenha a relação para a variação de temperatura na placa da base de ferro resolvendo a equação diferencial;
c) Avalie a temperatura da superfície interna.

Resp:

a) d^2 Td x^2=0
b) T(x)=1250(0,006-x)( ^circ C / m)+112 ^circ C
c) T1=119,5^circ C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a condução de calor através da base de um ferro de passar. A gente vai usar os conceitos de condução de calor unidimensional e equações diferenciais. Precisamos entender como a temperatura varia através da espessura da placa do ferro. Vamos precisar das propriedades da placa, como a condutividade térmica, a potência do ferro, e as dimensões da base.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a equação diferencial que descreve a condução de calor na placa. Como estamos lidando com uma condução de calor permanente e unidimensional, a equação simplificada é:
d^2 Td x^2 = 0
Isso significa que a segunda derivada da temperatura em relação à posição x é igual a zero, indicando que a taxa de variação da temperatura é constante ao longo da espessura.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar como a temperatura varia na placa. Integrando a equação T(x) = C1 x + C2 duas vezes, obtemos:
Onde e são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

Vamos aplicar as condições de contorno. Sabemos que na superfície externa da placa (quando ), a temperatura é . Também sabemos que a potência fornecida pelo ferro é , o que nos ajuda a relacionar a taxa de fluxo de calor.
Usando essas informações, podemos encontrar as constantes e e assim obter a expressão completa para a temperatura na placa.

Passo 5

Depois de determinar as constantes de integração, a relação para a variação de temperatura na placa fica assim:
T(x) = 1250(0,006 - x) (^circ C/m) + 112 ^circ C
Essa equação nos mostra como a temperatura muda de uma superfície para a outra da placa do ferro.

Passo 6

Por fim, vamos calcular a temperatura da superfície interna da placa, que chamamos de T1 = 1250(0,006 - 0) (^circ C/m) + 112 ^circ C = 119,5 ^circ C . Substituindo na equação da temperatura, temos:

Resposta

a)
b)
c)

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