Considere agora que o pontencial químico varia continuamente no espaço, ou seja
e
. Obtenha a taxa de produção de entropia nesse caso. Considerando que o fluxo é linear com a força, obtenha uma expressão para o fluxo de partículas e compare com a expressão fenomenológica para a Lei de Fick.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre como o potencial químico, que varia no espaço, afeta a produção de entropia e o fluxo de partículas. A matéria envolve Termodinâmica e a teoria de fluxos em sistemas não-equilíbrio. Para resolver, vamos precisar entender o que é potencial químico, taxa de produção de entropia, fluxo de partículas e a Lei de Fick.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial químico, representado por μ, é uma medida de quanta energia é necessária para adicionar uma partícula ao sistema. Quando μ varia no espaço, significa que há uma diferença de energia que pode causar o movimento das partículas, ou seja, um fluxo.
Passo 3
A taxa de produção de entropia (σ) em um sistema termodinâmico pode ser expressa como o produto do fluxo de partículas (J) pela força termodinâmica (F) que está impulsionando esse fluxo. Matemáticamente, temos:
Passo 4
A força termodinâmica aqui está relacionada à variação do potencial químico no espaço. Então, podemos expressar F como a derivada do potencial químico em relação à posição (x):
O sinal negativo indica que as partículas tendem a mover-se na direção de diminuição do potencial químico.
Passo 5
Substituindo a expressão da força na equação da taxa de produção de entropia:
Isso mostra como a taxa de produção de entropia depende do fluxo de partículas e da variação do potencial químico.
Passo 6
Agora, considerando que o fluxo é linear com a força, podemos escrever uma relação de proporcionalidade:
Aqui, L é um coeficiente de transporte que relaciona o fluxo com a força aplicada.
Passo 7
Comparando essa expressão com a Lei de Fick, que descreve o fluxo de partículas devido a um gradiente de concentração:
vemos que a forma é semelhante. No caso da Lei de Fick, D é o coeficiente de difusão e
é o gradiente de concentração, enquanto aqui temos L e o gradiente do potencial químico.
Resposta
A taxa de produção de entropia é dada por
e o fluxo de partículas é
. Essa expressão para o fluxo de partículas tem a mesma forma da Lei de Fick, onde o fluxo é proporcional ao gradiente do potencial químico, similar ao fluxo proporcional ao gradiente de concentração na Lei de Fick.
Exercícios relacionados
Considere agora que a temperatura varia de maneira contínua no espaço, ou seja
e
. Obtenha a taxa de produção de entropia nesse caso. Considerando que o fluxo é linear com a força, obtenha a expressão para o fluxo de calor e compare com a expressão fenomenológica para a Lei de Fourier.
Partindo da generalização de Gibbs para a
Lei da Termodinâmica de sistemas que podem trocar partículas, demonstre como essa expressão pode incorporar reações químicas irreversíveis e obtenha uma expressão para taxa de produção de entropia. Escreva essa expressão utilizando o conceito de afinidade, definido por De Donder (1927), e identifique os termos relacionados a força e o fluxo termodinâmico para esse sistema.
Utilize o formalismo da termodinâmica fora do equilíbrio no regime linear para derivar as relações entre as condutâncias e os coeficientes fenomenológicos de resistência para:
(a) Um sistema de dois fluxos.
(b) Um sistema de três fluxos.
Escreva os coeficientes considerando as relações de Onsager.
(a) Um sistema de dois fluxos.
(b) Um sistema de três fluxos.
Escreva os coeficientes considerando as relações de Onsager.
Utilizando a relação de Einstein para a probabilidade de uma flutuação em torno do estado de esquilíbrio
demonstre que de modo geral a probabilidade de flutuação em torno do equilíbrio pode ser escrita como
onde
são coeficientes e
são flutuações de grandezas termodinâmicas, sendo