Considere agora que o pontencial químico varia continuamente no espaço, ou seja
e
. Obtenha a taxa de produção de entropia nesse caso. Considerando que o fluxo é linear com a força, obtenha uma expressão para o fluxo de partículas e compare com a expressão fenomenológica para a Lei de Fick.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre como o potencial químico, que varia no espaço, afeta a produção de entropia e o fluxo de partículas. A matéria envolve Termodinâmica e a teoria de fluxos em sistemas não-equilíbrio. Para resolver, vamos precisar entender o que é potencial químico, taxa de produção de entropia, fluxo de partículas e a Lei de Fick.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial químico, representado por μ, é uma medida de quanta energia é necessária para adicionar uma partícula ao sistema. Quando μ varia no espaço, significa que há uma diferença de energia que pode causar o movimento das partículas, ou seja, um fluxo.
Passo 3
A taxa de produção de entropia (σ) em um sistema termodinâmico pode ser expressa como o produto do fluxo de partículas (J) pela força termodinâmica (F) que está impulsionando esse fluxo. Matemáticamente, temos:
Passo 4
A força termodinâmica aqui está relacionada à variação do potencial químico no espaço. Então, podemos expressar F como a derivada do potencial químico em relação à posição (x):
O sinal negativo indica que as partículas tendem a mover-se na direção de diminuição do potencial químico.
Passo 5
Substituindo a expressão da força na equação da taxa de produção de entropia:
Isso mostra como a taxa de produção de entropia depende do fluxo de partículas e da variação do potencial químico.
Passo 6
Agora, considerando que o fluxo é linear com a força, podemos escrever uma relação de proporcionalidade:
Aqui, L é um coeficiente de transporte que relaciona o fluxo com a força aplicada.
Passo 7
Comparando essa expressão com a Lei de Fick, que descreve o fluxo de partículas devido a um gradiente de concentração:
vemos que a forma é semelhante. No caso da Lei de Fick, D é o coeficiente de difusão e
é o gradiente de concentração, enquanto aqui temos L e o gradiente do potencial químico.
Resposta
A taxa de produção de entropia é dada por
e o fluxo de partículas é
. Essa expressão para o fluxo de partículas tem a mesma forma da Lei de Fick, onde o fluxo é proporcional ao gradiente do potencial químico, similar ao fluxo proporcional ao gradiente de concentração na Lei de Fick.