Considere agora que a temperatura varia de maneira contínua no espaço, ou seja
e
. Obtenha a taxa de produção de entropia nesse caso. Considerando que o fluxo é linear com a força, obtenha a expressão para o fluxo de calor e compare com a expressão fenomenológica para a Lei de Fourier.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma temperatura que varia continuamente no espaço, representada por
e
. Precisamos encontrar a taxa de produção de entropia nesse cenário. Além disso, devemos considerar que o fluxo de calor é linear em relação à força, ou seja, proporcional à diferença de temperatura, para obter a expressão do fluxo de calor. Por fim, vamos comparar essa expressão com a Lei de Fourier, que descreve como o calor flui em materiais.
Passo 2
Para resolver isso, vamos começar entendendo a taxa de produção de entropia. Na termodinâmica, a entropia é uma medida da desordem de um sistema, e sua taxa de produção está relacionada à irreversibilidade dos processos. Quando há um fluxo de calor devido a uma diferença de temperatura, isso gera produção de entropia.
A fórmula geral para a taxa de produção de entropia (
) em um sistema contínuo é:
onde:
-
é o fluxo de calor, -
é o gradiente de temperatura, -
é a temperatura.
Passo 3
Agora, vamos considerar que o fluxo de calor é linearmente proporcional à força que o impulsiona, neste caso, o gradiente de temperatura. Isso significa que podemos escrever:
Aqui,
é a condutividade térmica do material, e o sinal negativo indica que o calor flui do local de maior para menor temperatura.
Passo 4
Substituindo a expressão de
na fórmula da taxa de produção de entropia, temos:
Como a taxa de produção de entropia deve ser positiva (já que é um processo irreversível), podemos considerar o módulo dessa expressão:
Passo 5
Agora, vamos comparar essa expressão com a Lei de Fourier. A Lei de Fourier afirma que o fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura:
Essa é exatamente a expressão que usamos para relacionar o fluxo de calor ao gradiente de temperatura. Portanto, a expressão obtida para o fluxo de calor é consistente com a Lei de Fourier, confirmando que o fluxo de calor é linearmente dependente da força termodinâmica, que, neste caso, é o gradiente de temperatura.
Resposta
A taxa de produção de entropia é dada por
. Além disso, a expressão para o fluxo de calor que obtivemos
está de acordo com a Lei de Fourier, que estabelece que o fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura.