Considere agora que a temperatura varia de maneira contínua no espaço, ou seja e . Obtenha a taxa de produção de entropia nesse caso. Considerando que o fluxo é linear com a força, obtenha a expressão para o fluxo de calor e compare com a expressão fenomenológica para a Lei de Fourier.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma temperatura que varia continuamente no espaço, representada por e . Precisamos encontrar a taxa de produção de entropia nesse cenário. Além disso, devemos considerar que o fluxo de calor é linear em relação à força, ou seja, proporcional à diferença de temperatura, para obter a expressão do fluxo de calor. Por fim, vamos comparar essa expressão com a Lei de Fourier, que descreve como o calor flui em materiais.

Passo 2

Para resolver isso, vamos começar entendendo a taxa de produção de entropia. Na termodinâmica, a entropia é uma medida da desordem de um sistema, e sua taxa de produção está relacionada à irreversibilidade dos processos. Quando há um fluxo de calor devido a uma diferença de temperatura, isso gera produção de entropia.
A fórmula geral para a taxa de produção de entropia ( ) em um sistema contínuo é:
onde:
  • é o fluxo de calor,
  • é o gradiente de temperatura,
  • é a temperatura.

Passo 3

Agora, vamos considerar que o fluxo de calor é linearmente proporcional à força que o impulsiona, neste caso, o gradiente de temperatura. Isso significa que podemos escrever:
Aqui, é a condutividade térmica do material, e o sinal negativo indica que o calor flui do local de maior para menor temperatura.

Passo 4

Substituindo a expressão de na fórmula da taxa de produção de entropia, temos:
Como a taxa de produção de entropia deve ser positiva (já que é um processo irreversível), podemos considerar o módulo dessa expressão:

Passo 5

Agora, vamos comparar essa expressão com a Lei de Fourier. A Lei de Fourier afirma que o fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura:
Essa é exatamente a expressão que usamos para relacionar o fluxo de calor ao gradiente de temperatura. Portanto, a expressão obtida para o fluxo de calor é consistente com a Lei de Fourier, confirmando que o fluxo de calor é linearmente dependente da força termodinâmica, que, neste caso, é o gradiente de temperatura.

Resposta

A taxa de produção de entropia é dada por . Além disso, a expressão para o fluxo de calor que obtivemos está de acordo com a Lei de Fourier, que estabelece que o fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura.

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