Utilizando a relação de Einstein para a probabilidade de uma flutuação em torno do estado de esquilíbrio
P(De
demonstre que de modo geral a probabilidade de flutuação em torno do equilíbrio pode ser escrita como
P(alpha1, ldots, alpham)=raizdet[g](2 pi kB)^m exp [-12 kB sumi, j=1^m gi j alphai alphaj]
onde gi j=gj i são coeficientes e alphai, alphaj são flutuações de grandezas termodinâmicas, sendo
De

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar a relação de Einstein para a probabilidade de uma flutuação ao redor do estado de equilíbrio, que é dada por P(alpha1, ldots, alpham)=raizdet[g](2 pi kB)^m exp [-12 kB sumi, j=1^m gi j alphai alphaj] . A gente precisa mostrar que, de maneira geral, a probabilidade de flutuação pode ser escrita como:
O conteúdo aqui está relacionado à termodinâmica e à teoria das flutuações. Vamos precisar entender um pouco sobre como a entropia se relaciona com a probabilidade das flutuações e como essas flutuações podem ser descritas matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que P(De representa a variação da entropia devido a uma flutuação. A relação de Einstein nos dá a probabilidade dessa flutuação em termos da entropia:
Aqui, é uma constante de normalização e é a constante de Boltzmann.

Passo 3

No estado de equilíbrio, as flutuações são pequenas, então podemos expandir a entropia De em torno do equilíbrio usando uma série de Taylor. Considerando apenas até a segunda ordem, temos:
De
Segundo o enunciado, isso é igual a:
Aqui, são as flutuações das grandezas termodinâmicas e são os coeficientes que relacionam essas flutuações.

Passo 4

Substituindo essa expressão de P(De na relação de Einstein, temos:
Isso nos mostra que a probabilidade depende exponencialmente das flutuações quadráticas das grandezas termodinâmicas.

Passo 5

Para generalizar para múltiplas variáveis ( P(alpha1, ldots, alpham) = A exp [-12 kB sumi, j=1^m gi j alphai alphaj] grandezas termodinâmicas), a probabilidade conjunta das flutuações pode ser descrita por uma distribuição gaussiana multivariada. A forma geral dessa distribuição é:
Onde é a constante de normalização que garante que a probabilidade total seja 1.

Passo 6

Para encontrar a constante de normalização A = raizdet[g](2 pi kB)^m , sabemos que para uma distribuição gaussiana multivariada, ela é dada por:
Aqui, é o determinante da matriz , que envolve os coeficientes .

Resposta

Combinando tudo, a probabilidade de flutuação em torno do equilíbrio é:
P(alpha1, ldots, alpham)=raizdet[g](2 pi kB)^m exp [-12 kB sumi, j=1^m gi j alphai alphaj]

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