Utilizando a relação de Einstein para a probabilidade de uma flutuação em torno do estado de esquilíbrio
demonstre que de modo geral a probabilidade de flutuação em torno do equilíbrio pode ser escrita como
onde
são coeficientes e
são flutuações de grandezas termodinâmicas, sendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar a relação de Einstein para a probabilidade de uma flutuação ao redor do estado de equilíbrio, que é dada por
. A gente precisa mostrar que, de maneira geral, a probabilidade de flutuação pode ser escrita como:
O conteúdo aqui está relacionado à termodinâmica e à teoria das flutuações. Vamos precisar entender um pouco sobre como a entropia se relaciona com a probabilidade das flutuações e como essas flutuações podem ser descritas matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
representa a variação da entropia devido a uma flutuação. A relação de Einstein nos dá a probabilidade dessa flutuação em termos da entropia:
Aqui,
é uma constante de normalização e
é a constante de Boltzmann.
Passo 3
No estado de equilíbrio, as flutuações são pequenas, então podemos expandir a entropia
em torno do equilíbrio usando uma série de Taylor. Considerando apenas até a segunda ordem, temos:
Segundo o enunciado, isso é igual a:
Aqui,
são as flutuações das grandezas termodinâmicas e
são os coeficientes que relacionam essas flutuações.
Passo 4
Substituindo essa expressão de
na relação de Einstein, temos:
Isso nos mostra que a probabilidade depende exponencialmente das flutuações quadráticas das grandezas termodinâmicas.
Passo 5
Para generalizar para múltiplas variáveis (
grandezas termodinâmicas), a probabilidade conjunta das flutuações
pode ser descrita por uma distribuição gaussiana multivariada. A forma geral dessa distribuição é:
Onde
é a constante de normalização que garante que a probabilidade total seja 1.
Passo 6
Para encontrar a constante de normalização
, sabemos que para uma distribuição gaussiana multivariada, ela é dada por:
Aqui,
é o determinante da matriz
, que envolve os coeficientes
.
Resposta
Combinando tudo, a probabilidade de flutuação em torno do equilíbrio é: