Considere agora um ponto
e dois vetores
e
. Obtenha os vértices do paralelogranto
, com
e
. Depois, encontre o ponto médio da diagonal AC e o ponto médio da diagonal
. Coincidem? Enuncie o resultado geral (Teorema de Geometria Euclidiana).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com geometria vetorial. Temos um ponto
e dois vetores
e
. Precisamos construir um paralelogramo
onde
e
. Depois, vamos encontrar os pontos médios das diagonais
e
para ver se eles coincidem, e por fim, concluir com um teorema da geometria euclidiana relacionado a isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos
e
. Sabemos que
e
. Para achar
, somamos o vetor
ao ponto
:
Para achar
, somamos o vetor
ao ponto
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o ponto
. Sabemos que em um paralelogramo, os vetores
e
são iguais, assim como
e
são iguais. Podemos usar isso para encontrar
.
Usando
, temos:
Então, os vértices do paralelogramo são:
Passo 4
Vamos encontrar o ponto médio da diagonal
. A coordenada do ponto médio entre dois pontos
e
é dada por:
Aplicando isso para
e
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o ponto médio da diagonal
. Usando a mesma fórmula:
Passo 6
Observamos que o ponto médio de
é igual ao ponto médio de
, ou seja, ambos são
. Isso significa que as diagonais do paralelogramo se cortam no mesmo ponto.
Resposta
Sim, os pontos médios das diagonais
e
coincidem, ambos sendo
. Isso confirma o Teorema de Geometria Euclidiana que afirma que no paralelogramo, as diagonais se bissetam, ou seja, elas têm o mesmo ponto médio.