Considere agora um ponto A=(1,1,1) e dois vetores v=(0,-1,3) e w=(5,-1,3). Obtenha os vértices do paralelogranto A B C D, com B-A=dotnu e D-A=w. Depois, encontre o ponto médio da diagonal AC e o ponto médio da diagonal B D. Coincidem? Enuncie o resultado geral (Teorema de Geometria Euclidiana).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com geometria vetorial. Temos um ponto e dois vetores e . Precisamos construir um paralelogramo onde e . Depois, vamos encontrar os pontos médios das diagonais e para ver se eles coincidem, e por fim, concluir com um teorema da geometria euclidiana relacionado a isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos B = A + v = (1, 1, 1) + (0, -1, 3) = (1 + 0, 1 + (-1), 1 + 3) = (1, 0, 4) e D = A + w = (1, 1, 1) + (5, -1, 3) = (1 + 5, 1 + (-1), 1 + 3) = (6, 0, 4) . Sabemos que e . Para achar , somamos o vetor ao ponto :
Para achar , somamos o vetor ao ponto :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o ponto C = B + AD = (1, 0, 4) + (5, -1, 3) = (1 + 5, 0 + (-1), 4 + 3) = (6, -1, 7) . Sabemos que em um paralelogramo, os vetores A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 4), C = (6, -1, 7), D = (6, 0, 4) e são iguais, assim como e são iguais. Podemos usar isso para encontrar .
Usando , temos:
Então, os vértices do paralelogramo são:

Passo 4

Vamos encontrar o ponto médio da diagonal M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) . A coordenada do ponto médio entre dois pontos MAC = ( 1 + 62, 1 + (-1)2, 1 + 72 ) = ( 72, 0, 4 ) = ( 3,5, 0, 4 ) e é dada por:
Aplicando isso para e :

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ponto médio da diagonal MBD = ( 1 + 62, 0 + 02, 4 + 42 ) = ( 72, 0, 4 ) = ( 3,5, 0, 4 ) . Usando a mesma fórmula:

Passo 6

Observamos que o ponto médio de é igual ao ponto médio de , ou seja, ambos são . Isso significa que as diagonais do paralelogramo se cortam no mesmo ponto.

Resposta

Sim, os pontos médios das diagonais e coincidem, ambos sendo . Isso confirma o Teorema de Geometria Euclidiana que afirma que no paralelogramo, as diagonais se bissetam, ou seja, elas têm o mesmo ponto médio.

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