Obtenha um vetor w de norma 1375 na direçäo e sentido do vetor v=(1,-4,3). Obte. nha tambén o vetor aे de mesma norma que w, paralela a v, mas no sentido contrúrio

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede pra gente trabalhar com vetores. A gente precisa encontrar um vetor w que tenha uma norma (tamanho) de 1375 e que esteja na mesma direção e sentido do vetor v = (1, -4, 3). Além disso, precisamos achar outro vetor, que vou chamar de a, que também tenha a mesma norma que w, mas que seja paralelo a v e vá na direção contrária. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, normas e como escalar vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a norma de um vetor. A norma de um vetor v = (v1, v2, v3) é dada por:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
No nosso caso, o vetor v = (1, -4, 3). Vamos calcular a norma dele:
|v| = raiz1^2 + (-4)^2 + 3^2 = raiz1 + 16 + 9 = raiz26

Passo 3

Agora, pra achar o vetor w que está na mesma direção e sentido de v, mas com norma 1375, a gente precisa escalar v por um fator que ajuste a sua norma para 1375. Esse fator de escala k é:
k = norma desejadanorma original = 1375raiz26
Então, o vetor w fica:
w = k cdot v = 1375raiz26 cdot (1, -4, 3) = ( 1375raiz26, -5500raiz26, 4125raiz26 )

Passo 4

Agora, pra encontrar o vetor a que tem a mesma norma que w, mas vai na direção contrária de v, a gente vai escalar v por um fator negativo. Assim, mantemos a mesma norma, mas mudamos o sentido:
a = -k cdot v = -1375raiz26 cdot (1, -4, 3) = ( -1375raiz26, 5500raiz26, -4125raiz26 )

Resposta

O vetor w é ( dfrac1375raiz26, dfrac-5500raiz26, dfrac4125raiz26 ) e o vetor a é ( dfrac-1375raiz26, dfrac5500raiz26, dfrac-4125raiz26 ).

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