Escreva a equação vetorial e as equações paramétricas do plano paralelo ao plano Oxz e que contém o ponto . Faça um esboço do plano.
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Precisamos encontrar a equação vetorial e as equações paramétricas de um plano chamado . Esse plano é paralelo ao plano Oxz (o plano onde y=0) e passa pelo ponto (3, 0, 1). Para resolver isso, vamos precisar conhecer como representar planos no espaço usando vetores e parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um plano paralelo ao plano Oxz terá a mesma orientação, ou seja, a mesma inclinação. O plano Oxz é definido por y=0. Portanto, qualquer plano paralelo a ele terá uma equação onde y é constante.
Passo 3
Como o plano é paralelo ao Oxz, ele também terá a forma y = constante. Para encontrar essa constante, observamos que o ponto (3, 0, 1) está no plano . Substituindo y por 0, confirmamos que a constante é 0. Porém, como queremos um plano paralelo e não o próprio Oxz, precisamos tratar melhor.
Na verdade, se o plano Oxz é y=0, qualquer plano paralelo terá a forma y = k, onde k é uma constante. Mas como o ponto dado tem y=0, o plano coincide com Oxz. Parece que houve um mal-entendido. Vamos considerar que o plano deve ter a mesma orientação, mas diferente posição.
Vamos assumir que o plano tem a mesma orientação, então sua equação geral pode ser escrita considerando um vetor normal igual ao do Oxz, que é o vetor .
Passo 4
Agora, para escrever a equação vetorial do plano, precisamos de um ponto que está no plano e de dois vetores diretores. Sabemos que o ponto é (3, 0, 1).
Como o plano é paralelo ao Oxz, os vetores diretores podem ser os mesmos do Oxz, que são e .
Passo 5
A equação vetorial do plano pode ser escrita como:
Onde:
é um ponto qualquer no plano,
é o ponto dado,
e são parâmetros reais.
Então, substituindo:
Passo 6
Para as equações paramétricas, vamos separar cada componente da equação vetorial:
Onde e são parâmetros reais.
Resposta
Equação Vetorial:
r = (3, 0, 1) + s,i + t,k
Equações Paramétricas:
x = 3 + s y = 0 z = 1 + t
Esboço do Plano:
Imagine um plano paralelo ao chão (plano Oxz) que passa pelo ponto (3, 0, 1). Esse plano se estende infinitamente nas direções x e z, mantendo y sempre igual a 0.