Escreva a equação vetorial e as equações paramétricas do plano alpha paralelo ao plano Oxz e que contém o ponto (3,0,1). Faça um esboço do plano.

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Precisamos encontrar a equação vetorial e as equações paramétricas de um plano chamado alpha. Esse plano é paralelo ao plano Oxz (o plano onde y=0) e passa pelo ponto (3, 0, 1). Para resolver isso, vamos precisar conhecer como representar planos no espaço usando vetores e parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um plano paralelo ao plano Oxz terá a mesma orientação, ou seja, a mesma inclinação. O plano Oxz é definido por y=0. Portanto, qualquer plano paralelo a ele terá uma equação onde y é constante.

Passo 3

Como o plano alpha é paralelo ao Oxz, ele também terá a forma y = constante. Para encontrar essa constante, observamos que o ponto (3, 0, 1) está no plano alpha. Substituindo y por 0, confirmamos que a constante é 0. Porém, como queremos um plano paralelo e não o próprio Oxz, precisamos tratar melhor.
Na verdade, se o plano Oxz é y=0, qualquer plano paralelo terá a forma y = k, onde k é uma constante. Mas como o ponto dado tem y=0, o plano alpha coincide com Oxz. Parece que houve um mal-entendido. Vamos considerar que o plano alpha deve ter a mesma orientação, mas diferente posição.
Vamos assumir que o plano alpha tem a mesma orientação, então sua equação geral pode ser escrita considerando um vetor normal igual ao do Oxz, que é o vetor .

Passo 4

Agora, para escrever a equação vetorial do plano, precisamos de um ponto que está no plano e de dois vetores diretores. Sabemos que o ponto é (3, 0, 1).
Como o plano é paralelo ao Oxz, os vetores diretores podem ser os mesmos do Oxz, que são e .

Passo 5

A equação vetorial do plano alpha pode ser escrita como:
r = r0 + su + tv
Onde:
  • r = (3, 0, 1) + s(1, 0, 0) + t(0, 0, 1) é um ponto qualquer no plano,
  • é o ponto dado,
  • e são parâmetros reais.
Então, substituindo:

Passo 6

Para as equações paramétricas, vamos separar cada componente da equação vetorial:
x = 3 + s y = 0 z = 1 + t
Onde e são parâmetros reais.

Resposta

Equação Vetorial:
r = (3, 0, 1) + s,i + t,k
Equações Paramétricas:
x = 3 + s y = 0 z = 1 + t
Esboço do Plano:
Imagine um plano paralelo ao chão (plano Oxz) que passa pelo ponto (3, 0, 1). Esse plano se estende infinitamente nas direções x e z, mantendo y sempre igual a 0.

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